La Stampa - Consultazione Archivio

LA GEOMETRIA SENZA FORME E SENZA MISURE LA GEOMETRIA SENZA FORME E SENZA MISURE ON è vero che la matematica si complichi sempre più: il XII secolo, con la « numerazione di posizione », rese l'aritmetica accessibile anche alle menti più ottuse: il più ignorante allievo della 3" classe elementare esegue oggi in pochi minuti quegli stessi calcoli che, prima del Liber Abaci del nostro Leonardo Fibonacci, richiedevano parecchi giorni di com- — plesso lavoro. ™~"1 Di crimmino se ne è percorso parecchio, da allora, e con penetrazione sempre più rapida e vasta. « Si insegnava nei Politecnici, or è un secolo, ciò che ora si insegna nelle scuole professionali. Immagino che fra un altro secolo il corso dell'x. comincerà col calcolo differenziale assoluto e che nelle scuole professionali si insegnerà l'analisi delle funzioni delle vuriibili complesse. Allora bisognerà bene che l'analisi elementare sia professata in qualche luogo. Per forza di cose ne erediterà la scuola primaria » (Ing. G. Bessière, Il Calcolo Integrale reso facile ed attraente. TYad. C. Rossi; Milano, Hoepli, 19S0. Introd. p. VJ. E' già uno sguardo nel futuro. Il geniale autore si chiede come farà mai il maestro per insegnare l'integrazione a scolari di dodici anni. Lo stesso aureo libretto de l'ing. Bessière è la migliore risposta esemplificata, documento di un insegnamento davvero « facile e attraente ». Il vocabolo « funzione » che oggi, nel suo significato matematico, dà impressione di misteriosissima cosa al pubblico adulto di media e buona cultura, apparterrà in un domani non lontano alla elementarissima terminologia scolastica: «data una classe di numeri x (variabile), se ad ognuno di essi corrisponde un numero y, si dice che y è funzione della variabile x ». Tutto ciò non è certo più difficile e complicato che tanti capoversi intricatissimi (inutilmente intricatissimi) piluccatili nei »i«ni«i/É elementari <o pseudoelementari) di insegnamento matematico. Ai limiti della capacità pensante Nella vita moderna, la matematica assume un'importanza continuamente crescente: e, per sua natura, essa la compenetra in due direzioni che sembrano opposte: come soccorso all'azione pratica, tecnica, materiale, e nell'attività più elevata del pensiero. La costituzione della materia, la concezione dello spazio, la stessa connessione tra ciò che dal tempo di Adamo chiamiamo « causa » ed « effetto » par debbano risolversi in pure formule matematiche, e quasi sfuggire, cosi, alla facoltà di comprendonio del comune mortale; e, intanto, ciò che sembrerebbe pura teoria e astrazione matematica, vien reso tangibilmente utile, vien tecnicamente materializzato con applicazioni che hanno del miracoloso. La matematica è penetrata, e come fattore indispensabile, persino in quei campi teorici e pratici nei quali il suo ingresso sembrava non soltanto inutile, ma addirittura impossibile: oggi un radiologo è un medico il quale non può fare a meno di formule matematiche; gli schemi assicurativi han bisogno di formule ricavate da quel a medesima brulica — oramai vera scienza a sè — che, se da un lato determina precise norme economiche e pratiche, dall'altro assurge all'impostazione di problemi di fisica pura e della più astratta filosofia: il «calcolo delle probabilità » è analisi matematica, ma oramai autonoma, con una legittima cattedra a sè. SENZ Ma se da questa cattedra si illuminano, sì da facilitarne la soluzione, grandiosi problemi per il benessere materiale dei popoli, ritorna — con veste moderna e formule modernissime — sotto ia diretta protezione della matematica qualcosa di assai simile al «probabilismo» che ebbe più o meno ceiebri esponenti nell'antichità classica: Arcesilao, Cameade, Filone di Lunssa, Antioco da Siracusa, Ciceione. Secondo quei filosofi della Nuova Accademia ■— soprattutto Arcesilao e Cameade — non v'è dominio nel sapere nel quale noi possiamo raggiungere la verità e la certezza assoluta: dobbiumo quindi accontentarci di semplici «probabilità». Il comune mortale si era sempre più comodamente abituato a poggiarsi mentalmente su le « leggi » scientifiche come su un terreno ancor più sol.do che quello delle «leggi» giiridiche; e la espressione « verità matematica » era per lui sinonimo di verità assoluta e indiscutibile. Proprio le scienze pia « esatre », con la matematica per vessillifera audace, son venute a scuotere il concetto stesso di « verità ». E poco male ancora, finché « il calcolo delle probabilità è la logica del probabile» (B. de Finetti, nel Bollett. dell'Unione Matemat. Ital., IX, 5: 19S0): ma il nostro cervello è assalito quali da terrore sismico, sente vacillare il suolo, quando questa grandiosa ondata scientifica fa — almeno apparentemente — vacillare persino il concetto di causalità, ossia proprio lo « ubi consistano » di ogni umana ricerca. L'esistenza necessaria di un solido legame allacciante gli uni agli eiltri tutti i fatti della natura e tutte le manifestuzioni dello spirito era la base della ricerca scientifica. Secondo la fisica moderna in natura non si dà nè causalità propriamente detta, nè leggi rigorose: non esistono che approssimazioni — spesso molto grandi —• elle possono dare l'illusione di una causalità e di leggi. « Tutte le leggi fisiche possiedono un nocciolo di natura statistica ». (Scientia, marzo 193S, pag. a!f). Gauss e le strida dei Beoti Proprio la statistica la quale, a base di calcolo di probabilità, ha per sua missione la ricerca di caratteri costanti nell'insieme del.e anomalie singole, la quale ha il compito di coordinare, stabilire leggi e dipendenze, proprio la statistica è la dinamitarda che sconvolge il vecchio inquadramento della realtà e del raziocinio'/ Davvero «la scienza sembra essersi avvicinata al limite della nostra capacità pensante». (J. Huizinga, La Crisi della Civiltà. // ediz. Torino, Einaudi, I95S. pag. 1^0). Questo connotato sensazionale e quasi scandalistico della scienza ha i sw>i vantaggi. Anzitutto quello di commuovere un certo strato di pubblico e interessarlo a problemi che, altrimenti, gli rimarrebbero indifferenti. Attraverso più che due millenni il nostro pensiero si adagiava sul comodo paradelismo euclideo: due rette parallele procedono, mantenendosi equidistanti, verso il punto comune: l'infinito. E l'infinito c lontano assai, mentre le nostre materiali esigenze ed anche il nostro pensiero ci obbligano a discendere ad una stazione assai prossima, sii questo geometrico binario rettilineo. Carlo Federico Gauss non volle pubblicare le sue idee geometriche rivoluzionarie, poi che temeva « le strida dei beoti ». In realtà, non i beoti che proprio il secolo XIX pitsentu una rifioritura avrebbero protestato, come non protestano ora: la categoria che vien definita « beota » si disinteressa di problemi simili. E, se Gauss voleva alludere ai suoi colleghi, il giudiz o è ingiusto, poi e un rinnovamento della geometria pura, che non era più stata coltivata dopo Fermai, Desargues e Pascal: gli Italiani riprese.o — su tradizioni nobilissime anche urtisi-Icamente — fruttuose ricerche di geometria descrittiva, con le più bete conseguenze per la teoria e per la tècnica; il principio di proiezione centrale «determinò ricerche con risultati ben degni dì reggere il paragone con quelli che resero illustri i grandi matematici dell'antica Grecia » (A. Uccelli. Encicl. Stor. delle Scienze e delle loro applicazioni. Milano, Hoepli, 1941; Voi. I, pag. 273). Se. dopo un secolo, la geometria di Gauss non ha la notorietà die le spetterebbe, le ragioni sono forse di carattere pratico. Lfi sfericità deda terra era largamente nota, sotto l'influenza della scuola pitagorica, già un secolo prima che Euclide scrivesse i suoi Elementi. La superficie della terra è sferica: la geometria è. per etimologia, «descrizione de la terra »: come mai la geometria elementare è piana? Si potrebbe affermare che la responsabilità di questa contraddizione spetta alia lavagna ed ai suoi surrogati. Collocate un profano dinanzi ad una lavagna sferica, consegnategli una squadra normale, ed egli sarà il primo ad ammettere, con i.are interessamento, la inconciliab.l là dello strumento euclideo con la rotonda tangibile realtà. Una squadra acconciamente ìncuivata gli permet.erà invece di tracciare comodamente le « rette suLa sfera », o « pseudorette », o « linee g », cioè « geodetiche ». Sidla lavagna gaussiana il postulato di Euclide delh parallele non trova conferma: avviene ciò che accade nella terrestre realtà: ì meridiani, ad ogni incrocio con Pequatore e con i paralleli (geografici) dimostrano euclideamente di essere paralleli (geometricamente) fra loro, e nel modo lampantissimo, poi che formano tutti ango.i rett : eppure tutti convergono ai due poli, nord e sud. Sulla sfericu lavagna te figure geometriche scivolano, coincidono senza deformazione: sembra si tratti di una vera geometria « piana » la quale prescinda dall'incurvatura, poi che son validi tutti i postulati e gli assiomi delia classica geometria piana, tranne però quelli che discendano dal postulato delle parallele: la somma degli angoli di un triangolo, ad esempio, non è uguale ma superiore a due angoli retti. Ci vogliono almeno tre lati (e tre angoli) per costruire una figura geometrica su un piano euclideo: su la lavagna sferica, due linee g rinchiudono sempre uno spazio: un « Mongolo », che è sempre simmetrico! Il trucco c'è, ma non si vede La superficie della sfera è uno spuzio a due dimensioni, con curvatura costane positiva; con curvatura costante negativa si ha la superficie della « pscudosfera r>, sulla quale neppure è valevole il postulato euclideo delle parallele. Esiste però anche uno spazio a due dimensioni con curvatura nulla: ed è quello euclideo, della lavagna, della vita quotidiana. La lavagna ò la sintetica responsabile della generalizzazione illegittima, perpetrata attraverso millenni. Anche la superficie dell'acqua tranquilla in una bacinella è una superficie curva i ha la stessa curvatura che l'Atlantico e il Pacifico/; ma il considerarla come piana non espone certo a conseguenze yruvi. Più che rinnegare la geometria cuci dea, la geometria moderna, ampliandosi, ha conseixntto in un suo settore quella che ci serve per il quotidiano lavoro ed anche per il comune pensiero elementare geometrico. Euclide, eliminato dall'insegnamento per tempo assai breve, fu ricol.ocuto in cattedra nel 1898 da un Ministro che. fu gran matematico, Luigi Cremona. E' profetabile che. anche nell'anno 2000, gli architetti considereranno « paralle i » due fili a piombo, pur se entrambi puntano verso il centro della terra: e se ne serviranno persino per costrutte quegli edifici universitari nei quali si inse- RIA URE gnerà la geometria non-euclidea, gaussiana, lobacevskiana e le complicate teorie che sempre più appassioneranno, oltre gli scienziati, anche gli avidi di sapere. Se, ad ogni passo, le matematiche conquistano e conquisteranno nuovi punti panoramici meravigliosi, anche i pallidi riflessi che ne verranno ai profani ——— nwnnno un fascino sempre cre- 'mmmmmm™"~~™scente. La volgarizzazione matematica procede di pari passo con quella delle altre scienze: è già divenuta una necessità per poter comprender'! le moderne teorie fisiche. Provvidenzialmente, la volgarizzazione avviene talvolta seguendo gli itinerari più insospettati. Nel gustoso recentissimo volume di Carlo Rossetti «Il trucco c'è ma non si vede > (Milano, Hoepli, VJìfl), il quale tratta di prest digitazione, trovano posto il nome di un matematico insigne e quello di una branca matematica divenuta in breve così importante da costituire oramai una scienza a sè. L'autore insegna come, con una striscia di carta e un paio di forbici si possan compiere prodigi bizzarri, foggiando quegli « anelli » di Mobins che « servon di base al cosiddetto teorema fondamentale della, topologia per te snperfici » (pag. 217). «Noi prestidigitatori — egli aggiunge — elle, in genere, la. topologia non sappiamo neppure dove stia di casa, diamo a questo anello altri nomi: anello indiano o afgano, o anello del fachiro». E perchè — poi che il Rossetti è d plomatico di alta e varia cultura — non servirà proprio dell'anello del fachiro per sapere almeno dove stia di casa la topologia, e indurre il pubblico a familiarizzarsi un pochino con la gcneiale fisonomia di questo originalissimo ramo della scienza geometrica t Essa è certo la più curiosa branca della geometria superiore, poi che, in topologia o anaiysis situa, « lu forma e la misura non hanno importanza ». Anche un giochetto da bambino E che rimane, allora? Rimane più assai di quanto si creda: ne rimane tanto da farne una complicatissima scienza. Non sembri irriverente verso la topologia nè verso gli scienziati che con tanto profondo umore ed acume la coltivano, una presentuz one infantilmente banale, ossia servendoci di quel gioco di bimbi nel quale un anello di spago, passando dalle dita di un giocatore a quelle di un altro assume le conforta izioni più diverse: i Giapponesi lo chiamano opportunamente aya, ossia « disegno ». Dopo numerose metamorfosi e complicati intrecci, l'anello si discioglie come era prima. Qualcosa è rimasto costante tinvarieinte) durante le complesse manipolazioni. Tutti i vari aspetti della cordicella formano figure diverse per il profano, ed anche per la normale geometria: per la topologia, tulle quelle diversissime figure non hanno differenza sostanziate. E se anche la cordicella fosse elastica, neppure gli stiramenti avrebbero importanza. Un altro esempio: le nostre labbra assumono fonila e misura diversa nell'articolazione dei vari suoni, nel bacio e nello sbadiglio, nel soffio e nelle smorfiacce. Per la pittura e per la geometria, per la fisiologia c per la fonetica, per la psicologia e per la buona creanza, queste variazioni sono importanti: per l'anatomia, il cerchio delle labbra resta sempre identico. Cerchiamo però di immaginarci non una cordicella da gioco infantile o una bocca umana, ■ma una sostanza plusticu, entro lu quale sia stato tracciato, putacaso, un tetraedro: e che quella sostanza venga contorta, compressa o distesa nei modi più diversi: in tutte le sue peripezie, quel tetraedro conserva proprietà speciali invarianti nelle deformazioni continue; sono le proprietà « topologiche » (da topos ^ « luogo »). I metodi topologici hanno avuto già numerose applicazioni, in analisi e in algebra, in connessione con problemi della dinamica e specialmente per dimostrate l'impossibilità di una certa specie di sistemi di gas tsistemi ergodici). Ma la topologia non è soltanto matematica: discutendo sulle relazioni tra il mondo (piale realmente esiste e il inondo quale è concepito da fisico, Bertrando Russell si è servito dei risultati dell'analysis situs (B. Russell. The Anaiysis of Matter, 1927. e Outline of Philosophy, 1928). Molto dobbiamo attenderci da questa branca geometrica e filosofica insieme, poi che la topologia studia le proprietà più profonde degli enti: tanto piò. prufonda è infatti una proprietà e tanto più generale quanto più ampio è l'insieme delle trasformazioni alle quali resiste e non ostante le quali conserva significato. Con l'analysis situs è forse assegnato a filosofi e matematici, volenterosamente alleati, il bel compito di dimostrate che tante complicazioni sono più apparenza che realtà: ed essi potranno dare all'umanità, oggi assai disotientata, la stessa gioia che ha il bimbo, dopo i complicati intrecci del gioco della cordicella, di vederla discioglieisi libera nell'originale aned'.o. Toddi zCome mai gli abitanti della Terra, che è sferica, usarono per millenni una geometria « piana? ». lavagna euclidea lav. non euclidea squadra euclidea4 per pseudo-rette