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Numeri che si divertono e problemi rompicapo Numeri che si divertono e problemi rompicapo o g a e n a H mio amico Daniele giuoca a bridge. Il mio amico Daniele è anche nervoso, come tutti coloro che non riflettono troppo alle strette concatenazioni di cause ed effetti, e quando gli toccano carte infelici strepita, prendendosela magari contro forze superiori congiurate ai suoi danni. Dice: «Tutte cartine » e sembra la vittima di utì errore giudiziario. Dovrebbe invece pensare che la sua è una probabilità eccezionale che non si presenterà forse mal più — tale e quale — per tutta la durata della terra. Essa è identica all'apparizione di tredici carte dello stesso colore, per cui andrebbe in solluchero. E' cioè una dei 635 miliardi, tredici milioni, 559 mila e 600 probabilità di ogni distribuzione di carte a bridge. Ma il mio amico si diletta pure (quando non ci si arrabbia) con i ?fuochi di sorte, dove i nervi lo radiscono ancora di più. Egli vorrebbe un vantaggio o per lo meno un pareggio: il primo per il suo egoismo, 11 secondo per amor '. giustizia. Egli Ignora che se due milioni di adulti si' impegnassero oggi in una partita di testa e croce, con l'intesa che ogni cop pia debba smettere non appena raggiunto l'equilibrio tra colpi "inti e perduti, giocando alla velocità media di un colpo ogni minuto secondo (all'incirca, dieci milioni di colpi l'anno), dopo dieci anni ci sarebbero in gara almeno cento coppie. E se queste incaricassero gli eredi di continuare, dopo mille anni la partita non sarebbe ancora condrusa. Per quanto poi si riferisce al vantaggio, ottenere 5300 colpi favorevoli su 10.000, è una combinazione più difficile che veder morire nella stessa giornata i componenti di una stessa famiglia, il cui padre viaggi, la madre stia a casa e 11 figlio unico sia sotto le armi. Per se stessi, 1 numeri, simbolo dell'armonia universale, sarebbero disciplinati, ma si divertono nell'ambito delle probabilità, la cui spola è immensa. Un centesimo depositato in una Banca all'Inizio della nostra èra, con l'Interesse del 5 per cento, nel 1940 si sarebbe moltiplicato in un numero di 40 cifre, le cui prJme sarebbero 1.280... Se gli eredi non Incassa no nulla, non è già perchè gli antenati abbiano tutti trascurato di effettuare un deposito cosi lieve ma, perchè, nel frattempo, i numeri, distratti da probabilità con concomitanti e divergenti, hanno cessato di allinearsi nell'Interesse di «no sola probabilità. Ma passiamo a una chiacchierata più lieve. Per diletto dei settimanali Illustrati e delle rubriche di varietà, i numeri sono anche pronti a disporsi scherzosamente. Il numero 8, sapientemente moltiplicato e sommato, dà luogo al seguente quadretto, crescente e decrescente: ttdcpddtsltIipagtcrlsnstl 8 + 1=9 l 12 125 1234 12546 125466 1254567 12545678 125456789 8 + 1=9 8 + 2 = 98 8 + 3 = 987 8 + 4 = 9876' 8 +".5 = 98765 8 + 6 = 987664 8 + 7 = 9876543 8 + 8 = 98765432 8 + 9 = 987654521 Provare per credere. Non meno curiosa è la proprietà del numero 12.345.679 moltipllcato per 9 e. per 1 numeri multipli di 9 fitro a 81. Da esso abbiamo: 12.235.679 12.346.679 12.345.679 9 = 111111111 18 = 222222222 27 = 333335555 12.345.679 x 81 = 999999999 Il numero 123.456.789 composto di tutte le cifre escluso lo 0, se sommato nei suoi elementi, dà per risultato 45. Lo stesso risultato si ottiene implicitamente dallo stesso numero rovesciato. Ma se dal secondo sottraiamo il primo avremo; 987654321 — 123456789 864197552 cioè tutt'e nove le cifre, con risultato 45 se sommate insieme. Se i numeri si divertono a spese loro, ci si divertono ancora di' più i matematici. Anche i bambini conoscono il trucco d'indovinare un numero pensato, ma con la sopportazione di chi è messo a cosi dura prova aritmetica, se ne possono indo vlnare parecchi. Ad esempio, uno di più cifre e tre di una cifra sola. Supponiamo che siano stati pensati 1 numeri 412, 7, 6, 4. Diremo al paziente di moltipllcare il primo numero per 2, aggiunge re 1 al prodotto e moltipllcare il tutto per 5. 412 x B + 1 = 825 825 x 6 = 4125 Al risultato cosi ottenuto, sarà aggiunto il secondo numero pensato, cioè 7, e si procederà alle medesime operazioni, cioè: 4125 + 7x2 + 1x6 = 41326 A questo numero, sarà aggiunto to il terzo numero pensato, nel caso nostro il 6, con la terribile fatica di ripetere la solita operazione. Quindi: 4132S + 6x2 + 1 + 6 = 41341'S A quest'ultimo risultato aggiun geremo il quarto numero, ma per bontà cristiana il tormento finisce qui: 415416 + 4 = 413419 Ora domandiamo il risultato 413419 — dal quale sottraeremo 555, ottenendo: 413419 — 555 = 412764 e i numeri pensati risulteranno, da destra verso sinistra, 6, 6, 7 412 con grande stupore delle persone ammodo, mentre le altre vi diranno con un risolino che lo sapevano già, mentre non è vero Lo stesso scherzo è più efficace con delle carte da giuoco, limitate dall'I al 9. Passiamo a qualche problema Supponiamo d'Incontrare un pastore e di domandargli quante pecore abbia. E' difficile che egli risponda: « Ne ho più di settecento, ma meno di 800, e se le conto per gruppi di 8, di 12 e di 15 me ne restano sempre 7 », ma ammettiamo che risponda cosi e, malgrado ciò, rimanga in noi la curiosità di conoscere 11 numero delle sue pecore. (Dirò tra parentesi che l'unica operazione matematica della quale si dilettarono i pastori, risale al tempi di Giulio Cesare. Egli dispose di tassa» re i greggi di mille pecore e 1 pastori li suddivisero in 999. Accorgimento tuttavia inutile perchè' Giulio Cesare diede ordine al fisco di includere il pastore nel numero). Ordunque: il numero di pecore compreso tra sette e otto cento dev'essere un minimo comune multiplo di 8, 12 e 15 aumentato di 7. Questo minimo comune multiplo è 120. Il solo multiplo di 120, compreso tra 7 e ottocento è 720. Quindi il nostro pastore ha 727 pecore. Ecco un problema di altro genere, riguardante la gelosia e an- tico del pari. Tre mariti gelòsi si trovano con le rispettive mogli a dover attraversare un fiume dove c'è una barca senza pilota e rosi piccola che non può portare più di due persone alla volta. SI chiede: come avverrà il passaggio, dato che nessuno dei tre rinunzia, sia pure provvisoriamente, alia gelosia? Se ne interessarono persino i latini nel seguenti versi: It duplex mulicr, redit una-, vohitqua [rarnentem, itque una. TJtuntur tunc duo puppe viri pa-r vadit et redeunt bini, mullerqua [cororem adv«hit, ad propria fine maritu» ablt. E cioè: passano prima due mogli, l'una ritorna e fa passare la terza. Una donna ritorna e resta con suo marito. Gli altri due mariti traversano e vanno verso le loro mogli. Una donna ritorna con suo marito, sbarca e 1 due uomini passano dall'altra parte. La sola donna che si trova qui andrà successivamente à prendere le altre due, oppure ne prenderà una cedendo la barca all'ultimo marito perchè vada a cercare sua moglie. Guardate se può essere più complicata la gelosia. Interessante, per chi pazienza, sono pure i giochetti per ricostruire le operazioni. Un cultore di romanzi polizieschi, trova una carta semi illeggibile dove c'è una divisione con soli due numeri chiari e precisamente; precisamente; Potrà ricostruirla? Ecco: la seconda e la quarta cifra del quoziente sono.zeri perchè si sono dovute abbassare due cifre del dividendo. Il divisore ha due cifre, il suo prodotto per 8 non dà che un numero di due cifre, com'è indicato nella divisione parziale corrispondente, dunque questo divisore, al massimo, può essere uguale a 12; d'altra parte, il prodotto di questo divisore per l'ultima cifra del quoziente è un numero di tre cifre. Questo divisore non può essere inferiore a 12. Allora l'ultima cifra del quoziente è 9. La prima cifra è pure 9 perchè il suo prodotto per 12 dà un numero di tre cifre. Le tre prime cifre del dividendo sono 108, cioè 12 per 9. La quarta cifra del dividendo è 9 e la quinta è 7, perchè, se si sottrae 12X8=96 dal dividendo parziale corrispondente, resta 1. Le due ultime cifre del dividendo sono chiaramente 0 e 9 (Bouscenl). Ed ecco quindi il nostro bravo poliziotto con una ricostruzione che magari non gli servirà a nulla ma che ha trovato: 1089709 108 97 96 12 90809 109 108 Per concludere ricorderemo pu« re che la matematica, quasi fosse una scienza politica, ci permette di dimostrare che 1 è uguale a 2. Prendiamo due numeri o e b, uguali. Se ne deduce: ab=bi e abbi=az—b2. L'uguaglianza si scrive pure b(a-b)=(a-f-b) (a-b). Dividendo 1 due membri per a-b A ha te=a- o b=2b perchè a=b. Ne risulta che 1 è uguale a 2. Vecchi giochetti, d'accordo, ma cosi difficili à ricordare, e ci tro» viamo nelle sere d'inverno. Antonio Antonucci