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Risolto un millenario problema matematico Risolto un millenario problema matematico Pochi secondi per dire se è un numero primo rt^ 100 99 96 ^ 96 95 94 93 92 91 102 65 64 63 62 60 ^9.. 56 57 90 Vg 66 ^ 36 35 34 33 32 X 56 J** 104 "fDl 36 16 15 14 yi 30 55 68 105 66 39 18 IX 4 X 12 !Ml 54 87 106 69 40 i», 6 X /' 26 'H 86 70 fH 20 X| 8 9 10 27 52 85 108X4221 22 ^ 24 25 26 51 64 M 72 pC 44 45 46 V 46 49 50 ^ 110^ 74 75 76 77 78 StJ 60 81 82 111 112 >13 114 115 .16 117 118 119 120 121 Le diagonali dei «primi» nella tabella dei primi 121 numeri DUE matematici europei hanno scoperto un metodo rapido e sicuro per l'identificazione dei numeri primi. Ma per capire il significato della loro importante scoperta rifacciamo brevemente la storia di questa particolare «specie» numerica. Sono primi, lo ricordiamo, i numeri che non possono essere divisi esattamente per nessun altro numero all'inf uori di 1 e di se stessi. Questi numeri sono stati per secoli il tormento dei matematici, i quali li hanno inutilmente inseguiti, cercando di inquadrarli con qualche regola o formula che potesse permettere una loro determinazione e classificazione. I numeri primi compaiono nella successione dei numeri naturali con una distribuzione che certamente non è casuale, ma che è sempre sfuggita a qualsiasi precisa descrizione. Eulero, matematico svizzero del Settecento, professore all'Università di Pietroburgo, diede alcune formule generatrici di numeri primi. Le più famose sono le seguenti: x2 + x + 41 e xJ+x + 17. Se si sostituiscono ad x numeri interi, si possono ritrovare parecchi numeri primi. Un frate matematico parigino del Seicento, Marin Mersenne, appartenente all'ordine dei Minimi, scopri un'altra formula che dava molti numeri primi: 2P— 1, con p numero primo. Il metodo più antico per la determinazione dei numeri primi è il «crivello» di Eratostene, matematico, filosofo e poeta greco, vissuto nel n secolo a.C. Il «crivello» consiste nel mettere in fila tutti i numeri dispari (quelli pari possono essere esclusi poiché, si sa, sono multipli di 2), fino al limite stabilito, eliminando poi, come non primi, un numero ogni tre dopo il 3 (cioè i multipli di 3), un numero ogni cinque dopo il 5 (cioè i multipli di 5) e cosi via. I numeri che rimarranno, dopo questa operazione, saranno certamente primi. Questo metodo però è applicabile solo a piccoli numeri primi, di poche cifre, altrimenti i tempi per la loro determinazione si allungano in modo impossibile. Anche con l'uso del calcolatore più potente sarebbero sempre necessari milioni di anni per analizzare un numero di cento cifre. Ma proprio il calcolatore, con la sua straordinaria velocità di calcolo, ha permesso di compiere molti progressi nello studio dei numeri primi. II calcolatore, ad esempio, è servito a S. M. Ulam del Los Alamos Scientific Labora tory per verificare la tendenza dei numeri primi a disporsi su diagonali, quando la successione dei numeri naturali viene scritta a spirale. Questa tendenza si nota già nella tabella dei primi 121 numeri di fig. L ma risalta ancora meglio dal reticolo del calcolatore di fig. 2 che raccoglie la posizione dei numeri primi compresi tra 1 e 10.000. Grazie al calcolatore si è anche esteso il territorio di ricerca dei numeri primi, fino ai primi «giganti», composti da un centinaio di cifre. Ed è proprio in questa ricerca sui grandi numeri primi che si inserisce la scoperta dei due matematici europei, l'olandese Hendrik Lenstra dell'università di Amsterdam e il francese Henri Cohen dell'università di Bordeaux. Il loro metodo riprende l'algoritmo, ovvero la strategia matematica, sviluppata da diversi matematici americani interessati alla teoria dei numeri primi per la loro applicazione alla crittografia. I più moderni codici segreti usano infatti per la loro elaborazione proprio numeri primi «giganti», o meglio numeri composti con questi primi la cui individuazione è praticamente impossibile e che risultano pertanto una garanzia per Retìcolo dei numeri primi al calcolatore tra 1 e 10.000 l'indecifrabilità di un codice. E' questo uno dei motivi pratici che ha spinto i matematici americani ad occuparsi di numeri primi, al di là del loro fascino misterioso e indefinibile. I metodi più recenti per stabilire se un numero è primo consistono in una serie di test ai quali vengono sottoposti i numeri da esaminare. Quelli che superano tutti i test hanno buone probabilità di essere numeri primi e se ne ottiene la conferma definitiva confrontandoli ancora con un gruppo, molto ridotto, di divisori. Un tale algoritmo messo a punto due anni fa da L Adleman, dell'università della Southern California, C. Pomerance e R. Rumely dell'università della Georgia, non era considerato molto pratico. Anche con un potente calcolatore, infatti, l'analisi di un numero di 60 cifre richiedeva, come minimo, sei ore di lavoro. Ora Lenstra e Cohen presentano una geniale modifica di questo metodo, riuscendo a portare i tempi necessari alla determinazione inequivocabile di un numero primo a pochi minuti. Una conferma della loro brillante scoperta si è avuta proprio in questi giorni: J. Brillhart, dell'università dell'Arizona, che sta compiendo una ricerca sulla teoria dei numeri, ha inviato ai due matematici europei un numero di 97 cifre, incontrato nel corso della sua ricerca, chiedendo loro di stabilire se fosse un numero primo. Lenstra e Cohen, con l'aiuto ovviamente del loro calcolatore, sono riusciti a dimostrare in soli 77 secondi, e in modo indi■ scutibdle, che il numero era primo. Federico Peiretti