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A caccia di terne pitagoriche A caccia di terne pitagoriche zo. Per esemplo: 32+42-52. Le terne pitagoriche sono infinite e si possono ottenere con la formula di Diofauto, formula la cui origine risale probabilmente al babilonesi. E' sufficiente prendere due numeri qualsiasi m e n, con l'unica condizione che m sia maggiore di n e si ottiene immediatamente la terna x, y, z con: ranno la vostra casa e che, sicuramente, sarete tentati di selezionare e classificare. Anche un primo, superficiale esame vi permetterà subito di rilevare alcune differenze tra le varie terne pitagoriche. Se i due numeri generatori, per esempio, sono uno pari e l'altro dispari, e se non hanno divisori comuni, produrranno terne di numeri primi fra loro, senza divisori comuni, terne pitagoriche dette «primitive». Se invece i due numeri hanno un divisore in comune, lo stesso divisore, al quadrato, lo si -ritroverà nei tre numeri della terna. Facilmente verificabile è anche la proprietà che uno del tre numeri di una terna qualsiasi è sempre divisibile per 3, un altro per 5,11 prodotto di una coppia per 12 e 11 prodotto di tutti e tre per 60. Se cerchiamo poi i triangoli pitagorici (quelli cioè aventi i tre numeri come misura dei lati) con lo stesso perimetro o la stessa area, troviamo che la prima tripletta di terne ad avere lo stesso perimetro, 120, è 30,40, 50; 24,45, 51; 20, 48, 52 e i tre più piccoli triangoli con la stessa area, 840. sono 40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113. Possiamo ancora raccogliere le terne che hanno uno dei tre numeri costan- x-mJ — n2 y-2mn z-m2+n2 Se prendiamo, per esemplo, m-4 ed n-3, abbiamo: x-42 - 32-7 y-2x4x3-24 z-42+32-25 Ed è proprio: 72 + 242- 252 Nella tabella 1 è riportato il programma In Basic, per MSX, della formula di Diofanto. Con queste istruzioni 1) computer produrrà montagne di terne che invade- Tabella 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 FORA-3TO50 PRINT PRINT «LE TERNE PITAGOLET M-0 LETM-M+1 LET N-(A«A —M'M)/(2,M) IF N < 3 THEN 130 IFINT (NJ/N-l THEN 110 GOTO 50 PRINT PRINT A; N; N+M GOTO 50 NEXT A END PRINT «LE TERNE PITAGORICHE PER» ; Tabella 1 10 20 30 40 50 60 70 80 FOR N - 1 TO 50 FORM-N+1TO 50 PRINT PRINT «perM-»; MPRINT «LA TERNA M'M —N'N; 2'M'N;NEXTM NEXTN END PRINT «perM-»; M; «ED N-»; N PRINT «LA TERNA PITAGORICA È'. M'M —N'N; 2'M'N; M'M+N'N ^.-->c^^« te. In figura 1 sono riportate le dieci terne e 1 corrispondenti triangoli pitagorici con 48. Questa nuova ricerca si può avviare partendo dalla considerazione che la differenza di due quadrati consecutivi è sempre un numero dispari. Se prendiamo infatti la successione dei quadrati del numeri interi, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100 è: 4 — 1-3-2x1+1 9 — 4-5-2x2+1 16 — 9-7-2x3+1 25 — 16-9-2x4+1 e, in generale, (n+1)2 —n2-2n+l. Proseguendo nella ricerca vediamo che se si prende la differenza di due quadrati, scalati però di due, si arriva alla formula generale (n+2)2 —n2-4n+4. Infatti: 9 — 1-8-4x1+4 16 — 4-12-4x2+4 25 — 9-16-4x3+4, e cosi via. Generalizziamo ora questo procedimento prendendo sempre la differenza di due quadrati, scalati di 3, 4, 5,m,... La successione di formule a cui si arriva è: (n+1)2 —n2-2n+l (n+2)2 — n8-4n+4 '(n+3)2 —nJ-6n+9 ' (n+4)2 —n2-8n+16 (n+5)2 —n2-10n+25, ... (n+m)2—n2-2mn+ms Otteniamo cosi una formula che permette di ricavare le terne che hanno un numero costante. Basta Infatti imporre che 2mn+m2 sia un quadrato per avere a sinistra dell'uguale la differenza di due quadrati e a destra ancora un quadrato: 2 22mn+m2-a2, cioè n— . 2m I tre numeri a, n, n+m formeranno una terna pitago¬ 2 2 . 2m r.