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Sei punti, un esagono Le strategie del Sim Sei punti, un esagono Le strategie del Sim 3 3 5 5» IL Sim, parente del Nim (Tuttoseieme, 3-6-'87), è un gioco di carta e matita con uno schema di partenza molto semplice, ma con infinite e sorprendenti possibilità di sviluppo. Si devono segnare su un foglio di carta sei punti, vertici di un esagono regolare, e due giocatori a turno tracciano, ognuno con un colore diverso, un segmento che unisca una coppia di questi sei punti. Perde il giocatore che per primo è costretto a formare un triangolo con i tre lati tutti del suo colore, triangolo cioè che abbia i vertici su tre punti dell'esagono. Non contano i triangoli nati incidentalmente dalle intersezioni delle linee tracciate dal giocatori (flg. 1). 8 e non si hanno a disposizione due colorì diversi, si possono distinguere le mosse dei giocatori con linee Sono validi solo i triangoli che hanno i vertici coincidenti con tre vertici dell'esagono (a) e non quelli che si formano dalle intersezioni dei segmenti (b). Il grafo completo del SIM a 6 punti. FIG. 3 FIG. 2 • IG. 3 che siano rispettivamente continue e tratteggiate. Oustavus J. Simmons, un fisico americano di Albuquerque, è stato tra 1 primi a tentare un'analisi matematica del gioco (Journal of Recreational Mathematìcs, aprile 1969). «Proprio per la sua natura tutt'altro che banale e la sua complessa strategia — dice Simmons — mi sorprende che 11 Sim non abbia ancora sostituito tra gli studenti un gioco molto più elementare come U metto». (Per quest'ultimo gioco vedi Tuttoseieme, 4-3-'87). I segmenti distinti che possono essere tracciati sono 15 e 1 triangoli possibili 20, com'è facile verificare praticamente dal grafo completo del gioco (flg. 1) oppure applicando le regole del calcolo combinatorio: 0(6,2) - 15 e C(6,3) - 20. Ognuno del 15 segmenti è un lato di 4 del 20 triangoli e ognuno di questi si può formare in 6 modi dlversL Lo schema di flg. 2 dà i vari passaggi nella formazione dei triangoli, partendo da tre punti qualsiasi II numero totale di giochi possibili è enorme. E' stato A. P. De Loach, un tecnico deiribm, di New York, a porsi il problema di calcolare quanti siano (Journ. of Recr. Matti., gennaio 1971). Si consideri per questo che 11 primo giocatore, alla sua prima mossa ha a disposizione 15 linee diverse e il secondo giocatore 14; alla seconda mossa rispettivamente 13 e 12 linee e cosi via Naturalmente non tutti i giochi arrivano al numero massimo di 15 mosse e quindi, in totale, saranno inferiori a 15xl4xl3xl2x ...xl 1.307.674.368.000. U numero minimo di mosse necessarie per chiudere 11 gioco è Invece 5 (con 11 primo giocatore che perde la partita alla sua terza mossa). Poiché ci sono 20 triangoli diversi ognuno del quali si può formare, come dicevamo, In 6 modi diversi e il secondo giocatore può scegliere, in questo caso, tra 12 e 11 linee diverse alla sua prima e seconda mossa, in tutto i giochi con 5 mosse saranno: 20x6x12x11 15.840. Tra questi due estremi quindi si trova 11 numero totale di giochi, superiore a 15.840 e inferiore a 1.307.674.368.000. Secondo una stima dello stesso De Loach, i giochi possibili sarebbero all'incirca 17 miliardi. Un numero enorme, tale da rendere difficile, se non impossibile, ogni tentativo di trovare una strategia di gioco che non sia basata su semplici elementi probabilistici. il Siro, in ogni caso, a differenza del Filetto che giocato razionalmente diventa banale, senza vincitori, non può mai finire in parità. La dimostrazione è di Simmons. Nel grafo completo, da ogni vertice partono cinque linee: almeno tre di queste devono essere tracciate dallo stesso giocatore e per non formare un triangolo perdente, monocromatico, al loro estremi devono esserci linee tracciate dall'altro giocatore 11 quale In tal modo perde la partita, poiché queste linee formano necessariamente il triangolo della sua sconfitta (fig. 3).