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Il teorema di Fermat un enigma permanente Sempre soluzioni parziali a questo «giallo» della matematica Il teorema di Fermat un enigma permanente OGNI numero naturale, come 1,2,3,... ha almeno una proprietà particolare che gli altri non hanno. Infatti, supponendo che vi fossero, numeri privi di proprietà, e detto n il più piccola di essi, esso avrebbe la proprietà di essere il primQ numero che non gode di alcuna proprietà. Vi sono però altre proprietà dei numeri naturali che sono sorprendenti per davvero e alcune di esse richiedono magari secoli e anche l'uso di potenti elaboratori per poter essere rivelate. E' questo il caso incontrato da Noam D. Elkies, matematico di Harvard, che la scorsa estate ha trovato il primo controesempio che prova che una congettura fatta da Eulero oltre due secoli fa è errata. Cercando di dimostrare il celebre teorema di Fermat, il cosiddetto «ultimo teorema di Fermat», Eulero ipotizzò che non esistesse alcuna quaterna di interi positivi (numeri naturali), a,b,c,d, tali da soddisfare l'equazione a4 + b4 + e4 = d4. Il teorema di Fermat stabilisce che nessuna terna di interi positivi, a,b,c, soddisfa l'equazione a" + b" = c" per n 3, mentre è banale verificare che tale equazione possiede infinite soluzioni per n = 1 e tutti conoscono qualche «tema pitagorica», soluzione di tale equazione con n = 2 (ad esempio la terna ordinata 3,4,5). Il nome di «terna pitagorica» deriva ovviamente dal fatto che, se a e b sono le lunghezze dei due cateti di un qualunque triangolo rettangolo e c quella dell'ipotenusa, l'equazione a2 + b2 = c2 esprime il ben no to teorema di Pitagora. Quanto al teorema di Fermat, da tre secoli i matematici professionisti (affiancati da una schiera di dilettanti) cercano di fornire una qualche dimostrazione del risultato che Fermat scrisse in margine a'un volume di aver dimostrato in modo conciso ed elegante. Si era sbagliato? Nessuno è in grado di dirlo. Non sarebbe la prima volta che un matematico, pur di prim'ordine, avrebbe sbagliato, fatto sta che in tutti gli altri casi in cui Fermat disse di aver dimostrato qualche cosa (senza fornire i dettagli della dimostrazione) i colleghi che gli succe¬ dettero nei secoli dimostrarono che egli aveva ragione. Mentre questo enigma scientifico,resiste ancora all'attacco del genio e'.dell'inventiva dei ricercatori di oggi, assisti^ peraltro da potenti sistemi di' calcolo, qualche risultato «facile» viene ottenuto di tanto in tanto. Fermat stesso provò che l'equazione a4+b4=c4 non ha soluzioni a,b,c intere positive (il che è un caso particolare del teorema di Fermat, per n=4), il che spinse Eulero a formulare la sua congettura riguardo all'equazione a4 + b4 + c4 = d4. Ma Eulero si era sbagliato. Servendosi di una combina- zione di ragionamento teorico e ricerche fatte mediante il computer, Elkies ha trovato che la quaterna (di «grandi» numeri) a » 2682-440,b = 15365-639, c = 18796-760, d = 20-615-673 soddisfa l'equazione in questione. Tuttavia non è possibile dedurre da ciò se vi siano quaterne di numeri più piccoli che godono della stessa proprietà né se, comunque, vi siano altre quaterne-soluzione e, in tal caso, se ve ne siano infinite. La risposta a queste domande l'ha trovata Roger Frye della Thinking Machines. Ispirato dai suggerimenti contenuti nel lavoro di Elkies, Frye ha trovato la quaterna dei più piccoli numeri che soddisfano l'equazione sotto inchiesta: si tratta di a = 95-800, b = 217-519, c = 414-560, d = 422-560. Elkies invece aveva già dimostrato per parte sua che esistono infinite quaterne-so¬ luzione, tutte formate da numeri grandissimi. Nessuno sa ancora se vi sia un altro insieme di numeri compresi tra quelli di Elkies e quelli di Frye. Ma a che cosa serve tutto questo? Apparentemente a nulla, non a caso si parla infatti di «Matematica Pura", cioè fine a se stessa e utile solo per produrre nuova matematica, senza necessariamente essere applicata o applicabile a problemi concreti, quando si parla di «Teoria dei Numeri», ossia dell'aritmetica vista da un punto di vista superiore. In realtà, va tenuto presente che, da un lato il poter risolvere problemi difficili, nuovi o vecchi, contribuisce al progresso generale del pensiero matematico e quindi, indirettamente, anche a quello finalizzato verso le applicazioni pratiche, d'altro lato non è possibile decidere a priori se certa matematica è applicabile o no. Questo può risultare chiaro magari a distanza di secoli. D'altra parte, non vi erano ancora aerei supersonici nell'aria quando Tricomi studiò quell'equazione che ora porta il nome di «equazione deU'aerodimanica transonica» e che oggi è usata nella progettazione di tali velivoli. Ed è proprio la Teoria dei Numeri che può servire, ad esempio, a codificare e decodificare messaggi segreti o in certe comunicazioni elettriche. Chissà, forse il risultato di Elkies e Frye ci farà risparmiare un po' di carburante fra qualche secolo, o renderà possibile un nuovo tipo di diagnosi clinica... Va osservato infine che una ricerca sistematica con l'ausilio del computer è possibile fintantoché si esplora un numero finito, per quanto grande, di casi, anche se il «per quanto grande» è limitato dalle capacità degli elaboratori più potenti disponibili all'epoca in cui si effettua la ricerca. Gli elaboratori delle generazioni future saranno capaci di risolvere problemi sempre più complessi o semplicemente «più grossi»; per ora abbiamo speso «appena» 110 ore di computer Urne con Frye su vari computers della Connection Machine. Ma che fatica per ottenere qualche piccolo risultato! Renato Spigler Pierre de Fermat