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UN REBUS LUNGO 300 ANNI UN REBUS LUNGO 300 ANNI LA notizia secondo cui la prova del teorema di Fermat, annunciata con un certo clamore l'anno scorso, risulta invalida circolava da tempo e non è quindi giunta inattesa. Il teorema viene quindi nuovamente ridotto al rango di congettura. Non posso addentrarmi nei meandri della prova e meno ancora spiegarla ai lettori, essa presuppone conoscenze specialistiche di alto livello che travalicano i limiti concessi ad un fisico teorico. Posso tuttavia spiegare per sommi capi cosa sia la congettura di Fermat. Essa fu ritrovata come annotazione in margine ad un libro in cui Fermat sosteneva di avere in mano una prova semplicissima della non esistenza di soluzioni intere di una particolare equazione algebrica che generalizza altre derivanti dal teorema di Pitagora. Detto teorema asserisce che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Se consideriamo ad esempio un triangolo con cateti di lunghezza 1 e 2 ne risu'ta che l'area del quadrato sull'ipotenusa è pari a 5. Non esiste tuttavia alcun numero intero il cui quadralo valga 5 per cui la lunghezza dell'ipotenusa risulla data dalla radice quadrala di 5 ossia da un numero irrazionale. Se tuttavia i cateti hanno lunghezza 3 e 4 l'ipotenusa risulta pari a 5. Infatti il quadrato di 5 (pari a 25) è esattamente la somma dei quadrati di 3 (pari a 9) e del quadrato di 4 (pari a 16). Esistono infiniti triangoli rettangoli in cui tutti i lati sono interi, potremmo ad esempio prendere i cateti pari a 5 e 12 e l'ipotenusa pari a 13. In altre parole esistono infiniti casi di quadrati perfetti che si esprimono a loro volta come somma di due quadrati perfetti. Se tuttavia sostituiamo il quadrato con il cubo oppure con potenze più alte non si riesce più a trovare delle soluzioni tutte intere. Fermat asseriva appunto di aver trovato una prova molto semplice di questo fatto ma non la rese mai nota. A distanza di secoli la congettura rimane ancora una spina nel fianco dei matematici. Anni or sono, quando lavoravo ancora M'Institute for Advanced Studies di Princeton ebbi sull'argomento una conversazione con André Weil, fratello della celebre teologa Simone Wei!, lui stesso celebre matematico e storico di Fermat. Secondo Weil Fermat aveva scoperto la prova della congettura ma limitatamente ai casi più semplici, quelli cioè in cui trattiamo con cubi o quarte potenze e si era illuso poi di estenderla al caso generico. Tutto sembra indicare che Weil abbia ragione su questo punto, in quei tempi Fermat si occupava della teoria delie curve ellittiche che serve appunto a provare la congettura nei casi considerati ma non va oltre, almeno nella forma primitiva nota a Fermat. All'annuncio di Fermat ne sono seguiti altri puntualmente seguiti da clamorose smentite. Un simile scompiglio è stato causato da un'altra celebre congettura, quella di Bernardo Kiemann sulla distribuzione dei numeri primi. Ambedue permangono irrisolte ma hanno esercitato una spinta continua sulla comunità dei matematici che hanno sviluppato dei possenti schemi formali al puro scopo di ottenerne una dimostrazione. A mio parere questi schemi formali sono risultati molto più importanti delle rispettive congetture, è il caso di dire che quello che conta e la caccia e non la volpe. Al momento esistono prove rigorose della congettura per potenze al di sotto di una soglia abbastanza elevata, essa vale certamente non solamente per i cubi ma anche per le quinte potenze. Altri risultati parziali di alto interesse sono stati ottenuti dal matematico italiano Bombieri. Sono stati fatti numerosi tentativi con possenti calcolatori, ma senza risultati concreti. Le difficoltà presentate da queste congetture sono formidabili e sono causa di vere neurosi, gelosie e casi di paranoia tra matematici, ogni idea che possa essere utile alla loro soluzione viene tenuta segreta fino al momento della pubblicazione quasi come la formula della Coca Cola. Non se ne conoscono controesempi ma neppure delle prove. Altre congetture ad esse molto vicine sono state risolte da tempo ma nessuna di esse ha fornito lo spunto decisivo. La congettura dei quattro colori, usata dai geografi, è caduta una decina di anni or sono dopo un attacco frontale mediante calcolatori. Non è affatto evidente che lo stesso possa avvenire con quella di Fermat e quella di Riemann. Io spero che esse non vengano mai risolte e che venga mantenuta la spinta evolutiva che esse forniscono da secoli al mondo della matematica. Tullio Regge