La Stampa - Consultazione Archivio

Un universo straordinario in un foglio a quadretti Un universo straordinario in un foglio a quadretti Un semplice foglio a quadretti è il punto di partenza per scoprire un universo straordinario, ricco di strutture originali e curiose, dalle quali si può ricavare una serie di giochi divertenti. Un foglio simile a quello che aveva davanti a sé Solomon W. Golomb (nelle foto accanto al titolo) nel 1953 quando, giovane studente di Harvard, per superare la noia di una lezione poco interessante, mcominciò a tracciare una serie di figure, seguendo le linee dei quadretti. Da bravo matematico, tentò di classificarle, cercando di stabilire quante fosse possibile costruirne con uno, due, tre, quattro, cinque o più quadretti, secondo una regola molto semplice: i quadretti che le componevano dovevano avere almeno un lato in comune e si dovevano considerare equivalenti tutte quelle che si potevano sovrapporre con im movimento qualsiasi. Golomb chiamò «polimini» le figure così ottenute e in particolare chiamò monomino il quadretto base, duomino l'unica figura che si può costruire con due quadretti, Irimini quelle costruite con tre quadretti, tetramini quelle con quattro quadretti, pentamini con cinque e così via. Egli presentò all'Harvard Mathematics Club il suo gioco, che divenne ben presto molto popolare fra gli studenti. Fu poi Martin Gardner, il massimo esperto di giochi matematici, a rilanciarlo in tutto il mondo attraverso le pagine di «Scientific American». I dodici pentamini, riportati in figura, sono alla base di alcuni fra i più bei giochi matematici, talmente affascinanti da meritare un'ampia citazione in uno dei racconti di Arthur C. Clarke, «Terra imperiale», dove i pentamini sono uno dei giochi preferiti dagli abitanti di Titano, il satellite di Saturno, colonizzato dall'uomo nel ventiduesimo secolo. E' il gioco che viene regalato al figlio dell'imperatore della Galassia per mettere alla prova le sue capacità. La sfida è quella di costruire un rettangolo di 3x20 quadretti utilizzando i dodici pentamini. Un'impresa difficile visto che - ricorda Clarke - esistono soltanto due soluzioni su un milione di miliardi di possibili combinazioni. Il lettore può costruirsi i dodici pentamini con quadratini in legno o cartoncino (sono anche in vendita in tutti i negozi di giochi) e provare poi a ricostruire i rettangoli 3x20,4x15, 5x12 e 6x10 per i quali esistono migliaia di soluzioni diverse. Riportiamo, come esempi, soltanto uno dei due diabolici rettangoli 3x20 (l'altro lo lasciamo al lettore) e uno dei tanti rettangoli 5x12. Per un approfondimento dell'argomento rimandiamo al testo fondamentale di Golomb, «Polyominoes», nella nuova edizione pubblicata recentemente dalla Princeton University Press. Una visita al suo sito su Internet è sicuramente interessante: http//commsci.usc.edu/faculty/golo mbhtml. Chi sceglie il gioco virtuale lo può caricare gratuitamente (insieme a diversi altri giochi) allbome page di Robert Eldridge: http ://www2.hunterlink.net.au/~d drge/games/games.html. E' sorprendente l'ampio spazio che la rete dedica ai polimini, indice della loro grande popolarità. Si veda, ad esempio, il lungo elenco di indirizzi selezionati da Lei Iat Seng, studente dell'Università di Hong Kong: http://home.ust.luV~phihptyomino/ omino.html. Di collegamento in collegamento siamo così arrivati alle pagine di Guenter Albrecht - Buehler, l'artista dei polimini, che realizza composizioni con tasselli in legno aventi la forma dei polimini: http://pubweb.acns.nwu.edu/~qbu ehler/index.html. Vediamo altri due possibili giochi sempre legati ai pentamini. H primo consiste nella ricerca dei rettangoli 5x13, costruiti con i dodici pentamini, ma con un buco avente la forma di uno qualsiasi di questi. Riportiamo una delle tante soluzioni possibili. Il secondo è stato suggerito da R. M. Robinson, matema¬ tico deUUriiversità di Berkeley. Si tratta di una costruzione con i pentamini che ha battezzato il «problema della triplicazione»; si può costruire un modello di ogni pentamino tre volte più grande, usando nove dei pentamini di base. In questa pagina è riportato l'ingrandimento del pentamino U. Un altro gioco consiste nel ricoprire, con i dodici pentamini, una scacchiera 8x8. Rimarranno naturalmente vuoti quattro quadratini in posizioni diverse, raggruppati o separati. Una delle possibili disposizioni è riportata in figura. Alla pagina web di David J. Eck si trova la soluzione automatica al problema. E' sufficiente selezionare i quattro quadretti della scacchiera che devono restare vuoti e un programma in Java trova la giusta collocazione dei dodici pentamini. L'indirizzo è il seguente: http-y/godel.hws.edujava/pentl .html. Sempre la scacchiera può servire per un gioco competitivo proposto da Golomb. Si deve fabbricare una serie di pentamini, ognuno dei quali combaci esattamente con i quadretti della scacchiera. A turno, due giocatori scelgono poi un pentamino, collocandolo a piacere sulla scacchiera. Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri. «Il gioco - dice Golomb - ha un minimo di 5 mosse, un massimo di 12enonpuòmdfinireallapari». A questo punto il lettore curioso può allargare la sua indagine tentando di ritrovare i diversi polimini e tenendo presente che sono cinque i tetramini possibili, 12 i pentamini, cóme abbiamo visto, 35 gli esamini, 108 gli eptamini, 369 gli ottomini, 1285 i polimini formati da nove quadretti, 4655 quelli con dieci, 17.073 quelli con undici, 63.600 quelli con dodici quadretti e così via. Dietro questa successione numerica c'è una grande sfida matematica: non si conosce ancora la legge che collega il numero dei quadretti di partenza al numero dei polimini corrispondenti. Si può anche passare ai polimini tridimensionali, in particolare ai sette pezzi di figura, proposti da Piet Hein, esperto in giochi danese, che li ha battezzati Cubo Soma. Con questi sette pezzi si possono fare diverse composizioni la più semplice delle quali è un cubo 3x3x3. Jay Jenicek propone, dal Texas, diverse pagine web di configurazione possibili del cubo soma, afi'mdirizzo seguente: http://lonestar.texas.net/~jenicek/s omacub e/soma cube. html. Per allargare.ancora le frontiere dei polimini si potrebbe passare agli universi paralleli, dove al posto dei quadretti troviamo, come elementi base di nuove figure, simili a quelle che abbiamo appena visto, triangoli, equilateri, tetraedri o altri solidi e poligoni che possono creare piacwoli strutture, ma temiamo che questa nuova indagine impegnerebbe troppo il lettore in vacanza. Possiamo rimandarla alla prossima estate. Federico Peiretti ■ ■ ■ ■■ 1 ■ ■ ■ MM ■ ■■ ■ 1 ■■ ■ ■ F 1 L N P mam _ _ ■ ■ MM M MMM MMM T U V ■ ■ MM MM MM MMM M M MM M M MM W X Y Z / / / > ) / ) / I sette pezzi del.Cubo Soma Il monomino, il duomino, i due trimini e i cinque tetramini I dodici pentamini. te identificarli vengono collegati alle lettere dell'alfabeto più vicine alla loro forma 3x20 5x 12 8x8 Non sono in crisi solo l'orso del Trentino e il gallo cedrone Lt arco alpino costituisce una straordinaria coni centrazione di biodiversità. Basti pensare alla vegetazione e alla flora con, insieme, specie autoctone e specie artiche o nordeuropee che si sono rifugiate sulle Alpi nel corso delle glaciazioni. Pensiamo al grande numero di specie endemiche che hanno selezionato, in ambiti territoriali generalmente ristretti, un patrimonio genetico unico. Pensiamo al fatto che in un'area, come ad esempio le Alpi Marittime, relativamente modesta in termini di superficie, troviamo uno spettro vegetazionale che va dalle specie glaciali a quelle mediterranee. Per dare qualche cifra, ricordiamo le oltre 3500 specie presenti e il fatto che il 31 per cento sono endemiche. Ma questa biodiversità è a rischio. Perché le Alpi sono un ecosistema fragilissimo e molto sensibile. La perdita di biodiversità può avvenire a livello di ecosistema, con l'estinzione di specie che vivono in un determinato ambiente, oppure all'interno di una singola specie, con la riduzione della base genetica. In campo faunistico, emblematico è il caso dell'orso bruno del Trentino, ridotto a una popolazione ai fimiti o forse già oltre i limiti dell'estinzione. In campo vegetale il riferimento va a quelle specie mm Quasi estinta la pecora brianzola Ne sopravvivono solo venti capi