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La «scatola di Archimede» IN LABORATORIO / GIOCARE CON LO STOMACHION La «scatola di Archimede» Un rompicapo geometrico dell'antica Grecia I L manoscritto di Costantinopoli, un palinsesto contenente le opere di Archimede e venduto all'asta pochi giorni fa per 2 milioni di dollari (Tuttoscienze, 4 novembre 1998), ha riportato l'attenzione su un antico gioco greco dal nome curioso: Stomachion. Il grande scienziato siracusano dedicò alcune pagine alla presentazione del gioco, simile al più celebre Tangram, il «quadrato delle sette astuzie» (TuttoScienze, 14 gennaio 1998). Non sappiamo se sia stato lo stesso Archimede a inventare questo puzzle oppure, com'è più probabile, se ne abbia soltanto studiato le proprietà geometriche. Dello Stomachion parlano anche diversi autori latini che lo hanno ribattezzato la «Scatola di Archimede»: Loculus Archimedius. Ausonio, poeta latino vissuto nel quarto secolo d. C, paragona lo Stomachion ad una poesia con versi di metriche diverse e in un suo manoscritto riporta la figura di un elefante, costruito con i 14 pezzi dello Stomachion. Per avere un modello dello Stomachion si parte da un quadrato che dev'essere diviso in 14 parti. Con questi pezzi, realizzati un tempo in avorio (e che oggi il lettore potrà realizzare più semplicemente in legno o in cartoncino), si ricompongono, oltre all'elefante di Ausonio, centinaia di oggetti, animali e personaggi, simili a quelli ottenuti con i 7 pezzi del Tangram. In figura è indicata la costruzione dello Stomachion. Si parte da un foglio a quadretti sul quale si segna un quadrato di 12 per 12 quadretti. Si divide poi il quadrato nel modo indicato e si ottengono i 14 pezzi del puzzle. Abbiamo così 11 triangoli, 2 quadrilateri e un pentagono. Calcoliamo l'area di questi poligoni applicando un teorema poco noto, ma praticamente mol- to utile, il teorema di Pick: «L'area di una figura geometrica i cui vertici siano punti di un reticolo è uguale alla somma del numero dei punti interni e della metà dei punti toccati dal contorno della figura meno un'unità». Se indichiamo con I i punti interni, T i punti del contorno, abbiamo la formula: I + 1/2T - 1. Questo teorema scoperto da George Alexander Pick, un matematico austriaco amico di Einstein, morto nel 1943 in un campo di concentramento, venne ripreso da Hugo Steinhaus nel 1950 in un suo libro, Matematica per istantanee, pubblicato in italiano da Zanichelli e considerato giustamente uno dei capolavori della letteratura sulla matematica divertente. In figura abbiamo riportato, come esempio, il calcolo dell'area di due poligoni, con il teorema di Pick, «la cui dimostrazione - osserva Steinhaus - non è ovvia», ma che non richiede, per essere applicato, particolari competenze matematiche e che ha diverse applicazioni pratiche. Ad esempio, per calcolare l'area di una piantagione, con gli alberi piantati a distanze regolari, sarà sufficiente applicare la formula che abbiamo appena visto. E' facile verificare con il teorema di Pick che lo Stomachion ha 2 pezzi di area 3 quadretti, 4 pezzi di area 6, un pezzo di area 9, 5 pezzi di area 12, un pezzo di area 21 e un pezzo di area 24. Lasciamo al lettore il piacere di scoprire nuove forme, grati se vorrà segnalarcele, e proponiamo un ultimo problema: comporre con i 14 pezzi tre figure geometriche le cui aree siano uguali allo stesso numero intero. Un'ampia presentazione dello Stomachion si trova nel sito della Drexel University: http://www.mcs.drexel.edu /crorres/Archimedes/Sto machion/intro.html E un'attraente presentazione interattiva si trova alla pagina di Alex Bogomolny, nel sito della Mathematical Association of America: http://www.maa.org/edito rial/knot/Pick.html Federico Peiretti Dedicate al puzzle alcune pagine del celebre manoscritto di Costantinopoli Con quattordici triangoli si può costruire l'«elefante di Ausonio» S 12 O mm. Lo Stomachion si ottiene costruendo un quadrato di 12x12 quadretti e dividendolo in 14 parti, come indicato in figura. Secondo il teorema di Pick lo Stomachion ha 2 pezzi di area 3 quadretti, 4 pezzi di area 6, un pezzo di area 9, 5 pezzi di area 12, 1 pezzo di area 21 e un pezzo di area 24. Con i 14 pezzi dello Stomachion o «Scatola di Archimede» si costruisce l'Elefante di Ausonio ....... teorema IL/;_;_; _!_£L /? ? ? \ Dl PICK I/* t ? ? ?/• ^•-•-•-•-•\ •••••• \ i ^^j^* gono sono 24, quelli ^V, 1—-\»-<§>« \ quindi, peril teorema V-T di Pick, Id sua area e T^i-i-i i\ ! • 24 + 11/2-1=28,5 ' * *>5\ ■ ■ ■ quadretti • I punti interni al poligono sono 27, quelli sul contorno 20 e quindi, per il teorema di Pick, la sua area è 27 + 20/2 - 1= 36 quadretti I m m ■>;A m i à 1 m 1