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Un teorema paleobabilonese LA LEZIONE/PITAGORA Un teorema paleobabilonese // celebre enunciato geometrico eragià noto 4000 anni fa U NO dei pochi teoremi di matematica che sicuramente tutti conoscono è il teorema di Pitagora: «In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti». Ma forse non resta che una vuota definizione di un teorema così importante da far dire a Bertrand Russell: «La matematica, intendendo come tale le dimostrazioni e i ragionamenti deduttivi, comincia con Pitagora. Non conosco altro uomo che abbia avuto altrettanta influenza nella sfera del pensiero». Ed Einstein così ricorda il suo incontro con il celebre teorema: «Avevo 12 anni quando un mio vecchio zio mi enunciò il teorema di Pitagora e dopo molti sforzi riuscii a dimostrarlo. E' stata un'esperienza meravigliosa scoprire come l'uomo sia in grado di raggiungere un tale livello di certezza e di chiarezza nel puro pensiero. E sono stati i Greci per primi ad indicarcene la possibilità, con la geometria». Ma per capire il valore di questo teorema dobbiamo risalire alle sue origini, alle tracce più antiche: alcune tavolette babilonesi databili tra il 1800 e il 1600 a. C. Su una di queste tavolette è tracciato un quadrato con le due diagonali. Il lato del quadrato misura 30 e la sua diagonale viene calcolata moltiplicando la misura del lato per la radice di 2. I numeri sono espressi nel sistema sessagesimale. Questo e altri documenti dello stesso periodo paleobabilonese e dell'Antico Egitto dimostrano che il teorema di Pitagora era noto più di mille anni prima di Pitagora. Nello stesso periodo, erano note anche alcune terne di numeri, chiamate in seguito terne pitagoriche, per le quali il quadrato del numero più grande è uguale alla somma dei quadrati degli altri due numeri. Ad esempio, per la più semplice fra queste terne, 3, 4 e 5, si ha: 52 = 32 4- 42, 25 = 9+16. Non è difficile vedere il collegamento fra triangoli rettangoli e questi numeri, abbiamo però bisogno di una scatola di fiammiferi. Se costruiamo un triangolo che abbia come lunghezza dei lati 3, 4 e 5 fiammiferi, cioè i numeri della terna pitagorica, il triangolo risulta rettangolo. Lo stesso accade con qualsiasi altra terna pitagorica, e queste sono infinite. Si provi ad esempio a costruire triangoli di lati 5, 12 e 13 fiammiferi oppure 8, 15 e 17: i triangoli sono sempre rettangoli. A questo punto sembrerebbe facile dedurre il collegamento fra terne pitagoriche e triangoli rettangoli, cioè fra il problema aritmetico e il corrispondente problema geome-' trico. Ma la geometria egizia e babilonese erano di tipo pratico, non esisteva un pensiero geometrico indipendente dalle più semplici e immediate applicazioni. «Soltanto in base alla nostra educazione, modellata sull'idea che i Greci avevano della Matematica - scrive Neugebauer nel suo prezioso saggio Le scienze esatte nell'Antichità - siamo portati a pensare immediatamente alla possibilità di una rappresentazione geometrica di rapporti aritme- tici o algebrici». Merito di Pitagora è stato quello di aver trovato una dimostrazione generale del teorema, servendosi di un ragionamento deduttivo che ha avuto una profonda influenza sulla filosofia e sul metodo scientifico. Non sappiamo quale sia stata la sua dimostrazione, esistono infatti centinaia di dimostrazioni diverse, 365 delle quali sono state raccolte in un libro del National Council of Teachers of Mathematics. Una ventina di queste si trovano su Internet alle pagine di Alexander Bogomolny: http://www.cut-the-knot. com/pythagoras/ La dimostrazione più famosa è sicuramente quella di Euclide, riportata nel primo libro degli Elementi, proposizione 47. E' basata su una figura che è stata battezzata, per la sua forma, mulino a vento, coda di pavone o sedia della sposa. Il lettore interessato troverà quésta dimostrazione, di cui riportiamo soltanto la figura, alle pagine web di D.E. Joyce, pagine straordinarie con gli Elementi di Euclide in edizione on line interattiva e animata: http ://aleph0. clarku.edu/ dj oyce/j ava/elements/book 1 /propI47.html La dimostrazione di Euclide, oltre ad aver fatto disperare tanti studenti, ha fatto arrabbiare Arthur Schopenahuer, il quale accusò il grande matematico greco di aver costruito una figura che porta a una interminabile catena di passaggi e che si chiude su di noi come una «trappola per topi». Schopenahuer presentò anche una sua dimostrazione, magnificandone la chiarezza e la semplicità. In realtà si tratta eh' una dimostrazione senza alcun valore, riguardante soltanto il caso particolare del triangolo rettangolo isoscele. Sicuramente a Schopenahuersarebbero piaciute molto di più ., alcune dimo- «$ jj strazioni elementari che si trovano sui libri di scuola o quella trovata n e 1 l'Ottocento da Henry Perigal, un agente di cambio inglese, che divide il quadrato costruito su un cateto in quattro parti, con due segmenti perpendicolari passanti per il centro del quadrato stesso, e ricompone poi i quattro pezzi, insieme al quadrato costruito sull'altro cateto, nel quadrato dell'ipotenusa. E' molto bella anche la dimostrazione di Liu Hui, im matematico del terzo secolo d. C, riportata da D. B. Wagner, studioso danese dell'Antica Cina, al seguente indirizzo Internet: http:// coco. ihi.ku. dk/~ dbwagner/ Pythagoras/ Pythagoras.html Segnaliamo infine la dimostrazione trovata nel 1876 da James A. Garfield, ventesimo presidente degli Stati Uniti. Antischiavista, eroe della guerra civile, Garfield venne eletto presidente nel 1880 e avviò subito una campagna contro la corruzione politica. Ma venne assassinato pochi mesi dopo la sua elezione. Ne 1876 trovò una dimostrazione inedita del teorema insieme ad alcuni suoi colleghi del Congresso, in un «momento di passatempo matematico». «Pensiamo che su questa dimostrazione - disse - si possano trovare d'accordo tutti i deputati, indipendentemente dalle loro idee politiche». E' mia dimostrazione fondata sul calcolo dell'area del trapezio di figura che si può trovare alle pagme di Nick Derkatch: http://wv\n/v.cinixmultiinedia. com.au/geometry/ Per approfondire il pensiero di Pitagora e dei pitagorici, oltre il teorema, segnaliamo ancora alcuni siti che possono essere un buon punto di partenza per una «navigazione pitagorica» in rete: http://www.st-and.ac.uk presenta una biografia matematica di Pitagora; http://marlowe.wimsey.com /—rshand/streams/gnosis /pythagoras.html tratta la filosofia di Pitagora; http://www.perseus.tufts. edu/GreekScience/Students /Tim/Contents .html tratta la matematica nell'Antica Grecia; http://calligrafix.co.ulc/holi daynet/harmony/prop.html su Pitagora e la musica. Federico Peiretti Nello stesso periodo erano già conosciute particolari terne di numeri chiamate poi pitagoriche Vediamo insieme alcune dimostrazioni del teorema, tra le centinaia possibili 30/ / 1 24 51 10 \ \> 42 25 35 A La tavoletta babilonese, del periodo 1800 - 1600 a. con il calcolo della diagonale di un quadrato La dimostrazione «sbagliata» di Schopenhauer: il quadrato costruito sull'ipotenusa è composto di 4 parti uguali a quelle della somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Ma questo è vero solo se il triangolo rettangolo è isoscele sso erano sciute ri terne ri e poi he r presentò andimostrazione, ne la chiarezza à. In realtà si dimostrazione ore, riguardante particolare del ngolo isoente a sate 1 ., «$ jj , il uito su un ttro parti, enti perpenanti per il drato stesso, e Vedinsadimostradel teotra le cenporicompone poi i quatinsieme al quadrato sull'altro cateto, nel dell'ipotenusa. E' molto bella ancmostrazione di Limatematico dsecolo d. C,da D. BstudneldbPyPythagoSegnaliamodimostrazivata nel 18mes A. Garfitesimo preside