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Peano, il nonno dei frattali LEZIONE / MATEMATICA Peano, il nonno dei frattali A Cuneo convegno sul grande matematico di fine '800 ACuneo è stato dedicato qualche giorno fa un monumento al matematico Giuseppe Peano, e domani si tiene un convegno sulla sua opera. Saranno anche premiati i vincitori di un concorso a cui hanno partecipato studenti di tutta l'Italia con realizzazioni al computer della famosa curva di Peano, che è anche rappresentata nel monumento. Peano è stato uno dei massimi matematici italiani di fine Ottocento e la sua specialità era l'analisi matematica. Alcuni dei risultati fondamentali che si insegnano tuttora nei corsi universitari sono dovuti a lui: per coloro che hanno studiato l'analisi, ricordiamo la definizione di area come limite delle approssimazioni poligonali interne ed esterne, il teorema di esistenza delle soluzioni di equazioni differenziali e il metodo di soluzione di sistemi di equazioni differenziali per approssimazioni successive. Questi risultati, per quanto importanti, non sarebbero però bastati a far conoscere il nome di Peano al pubblico, se egli non avesse trovato nel 1889 la sua famosa curva. La problematica relativa a questa scoperta risale ad un lavoro di Georg Cantor, l'inventore della teoria degli insiemi, il quale aveva dimostrato nel 1878 che un segmento ed un quadrato hanno lo stesso numero di punti nel senso che si possono ridisporre i punti del segmento in modo da far loro ricoprire l'intero quadrato. Peano trovò che la corrispondenza di Cantor tra un segmento e un quadrato può addirittura essere resa continua, nel senso che se si immagina il segmento costituito di un elastico, lo si può deformare senza romperlo in modo da fargli ricoprire l'intero quadrato. Gli esempi di Cantor e Peano mo stravano dunque che il se gmento e il quadrato, benché oggetti di dimensioni diverse, sono in realtà molto più simili del previsto. L'esempio più semplice di una curva del tipo di quella di Peano fu proposto nel 1891 da David Hilbert, e si ottiene nel modo seguente. Si divide anzitutto il quadrato in quattro parti che vengono numerate: esse corrispondono ciascuna ad un quarto del segmento di partenza. Si ripete poi il procedimento per ciascun quarto e si numerano i sedici quadratini così ottenuti: poiché ciascuno corrisponde a 1/16 del segmento di partenza, la numerazione dovrà essere consecutiva, nel senso che si può solo passare da un quadratino ad uno adiacente ad esso. Si ripete poi il processo, all'infinito. Se ad ogni passo si congiungono i centri dei vari quadratini con una poligonale, si ottengono approssimazioni di quella che sarà la curva finale. Una di queste poligonali è appunto rappresentata nel monumento di Cuneo, ma si deve fare attenzione a non confondere nessuna delle approssimazioni con la vera curva, che è il risultato finale di questo processo. Via via che si procede, le varie approssimazioni diventano però più complicate, e colorano una parte sempre maggiore del quadrato: alla fine, proprio perché la curva ricopre interamente il quadrato, essa non si distingue più dal quadrato completamente colorato. Inoltre, le approssimazioni della curva di Hilbert hanno la spia¬ cevole proprietà che, benché esse si avvicinino via via alla curva finale, nessuna di esse ne fa parte. L'esempio originale di Peano non aveva questo difetto, ma era un po' più complicato: i quadrati venivano divisi in nove parti, invece che in quattro, e si procedeva zigzagando lungo le loro diagonali, invece di congiungerne i centri. Con la sua scoperta Peano aveva comunque sfregato una lampada magica, dalla quale uscirono come folletti innumerevoli variazioni. La prima, già citata, fu appunto quella di Hilbert. Nel 1905 Henri Lebesgue estese il risultato dal quadrato al cubo e all'ipercubo. In seguito si scoprì che la curva di Peano non è che il primo esempio di quei frattali che sono diventati vere e proprie forme d'arte computerizzata, e che hanno la proprietà che ciascuna loro parte è simile al tutto. Insomma, Peano e la sua curva hanno ben meritato l'onore di un monumento, certo insolito per un matematico, e ancor più per la sua opera. Piergiorgio Odif reddi Università di Torino \ / \ / ■ ' \ -i ' > } :— - V V V ,/\/\/\ /\ /I'. /\ / . ; '-) ■ i - 1 *i*S fcfif- ln alto a sinistra il monumento a Giuseppe Peano inaugurato a Cuneo Sotto, genesi della «curva di Peano» e qui a fianco una rappresentazione della curva come limite di una successione di poligonali. A destra Peano nel suo laboratorio a Cavoretto e. sotto, con la moglie Carolina. Sullo sfondo, la «curva di Peano», primo esempio di frattale