La Stampa - Consultazione Archivio

Keplero e le arance DIMOSTRAZIONE AL COMPUTER Keplero e le arance Risolto un problema ancora attuale NEL 1611 il navigatore Walter Raleigh, organizzatore delle spedizioni dalle quali nacque l'impero coloniale inglese, propose al matematico Thomas Harriot il seguente problema, di evidente interesse pratico: qual è il miglior modo di impilare palle di cannone? Il metodo più ovvio è quello che si usa anche per accatastare le arance sui banchi del mercato: si dispone anzitutto una fila di arance; la seconda fila si dispone sfalsata, in modo da porre le arance negli avvallamenti della prima fila, e così via; una volta disposto un primo strato, si dispone un secondo strato sfalsato nello stesso modo, e si continua fino a costruire una piramide. In alcune fortezze rimangono ancora cataste di palle di cannone disposte così. Niente però assicura che, soltanto perché questa è la maniera intuitiva di disporre le arance o le palle di cannone, essa sia anche la migliore possibile, e proprio di questo Raleigh voleva sincerarsi. Harriot non seppe risolvere il problema, e lo passò all'astronomo Keplero, che in quel momento stava lavorando al problema della morfogenesi, in particolare della formazione dei cristalli di neve, degli alveari e dei semi di melograno. Egli aveva congetturato che tutte queste strutture si formassero a partire da sfere disposte in reticoli spaziali di varia forma, che espandendosi tendevano a riempire completamente lo spazio intermedio. Si trattava dunque di determinare quale confi¬ gurazione di sfere nello spazio abbia la massima densità. Un analogo problema si pone per i cerchi nel piano, nel qual caso il problema si può illustrare chiedendo quale sia la più efficiente disposizione di monete su un tavolo. Keplero effettuò alcuni calcoli, per entrambi i casi, ma dovette limitarsi a congetturare che le disposizioni ovvie sono effettivamente le migliori. Il primo progresso si ebbe nel 1831 grazie al principe dei matematici Karl Gauss. Egli dimostrò che, nel caso dei cerchi, la configurazione ovvia è la migliore fra tutte quelle reticolari, tali cioè che i centri dei cerchi formino un retìcolo planare, cioè una configurazione simmetrica di parallelogrammi. Nel 1892 Axel Thue annunciò di aver dimostrato che la configurazione esagonale è la migliore in assoluto, ma la dimostrazione fu pubblicata soltanto nel 1910. Anche per lo spazio Gauss dimostrò che la configurazione ovvia è la migliore fra tutte quelle reticolari, tali cioè che i centri delle sfere formino un retìcolo spaziale, cioè una configurazione simmetrica di parallelepipedi. Il caso generale rimase però aperto, e andò a costituire una parte del diciottesimo problema della famosa lista che David Hilbert propose al congresso internazionale di Parigi del 1900, come programma di lavoro per il nuovo secolo. Molti dei problemi di Hilbert sono stati risolti, ma quello mutuato da Keplero resisteva scandalosamente. Nel 1993 Wu-Yi Hsiang, dell'Università della California, pubblicò una soluzione del problema, che fece molto discutere, e risultò poi scorretta. Finalmente, il 9 agosto scorso Thomas Hales, dell'Università del Michigan, ha annunciato di aver concluso la ricerca e risolto il problema: la dimostrazione richiede 250 pagine e un programma di computer da 3 gigabytes, ed è esposta nel sito Internet di Hales. Quando il numero di dimensioni sale, la cosa diventa ancora più interessante. Il problema della miglior configurazione fra tutte quelle reticolari è stato risolto fino alla dimensione 8. Ma non sempre le configurazioni reticolari offrono la migliore densità. Il problema della configurazione di sfere a massima densità in spazi multidimensionali riveste oggi una grande importanza nella teoria dei codici di correzione d'errore per la trasmissione di messaggi. Stringhe binarie di n simboli individuano spigoli di un ipercubo ad n dimensioni, e per evitare errori di trasmissione si vuole impedire che spigoli adiacenti ad uno spigolo che codifica un messaggio, codifichino a loro volta messaggi: una configurazione di ipersfere a massima densità permette di massimizzare il numero di messaggi, minimizzando la possibilità di errore. Proprio in queste applicazioni sta l'importanza del problema di Keplero e della sua recente soluzione. Piergiorgio Odif reddi Università di Torino UTILIZZARE MEGLIO ■ & SPM10 Keplero si pose il problema di accatastare palle di cannone (o arance) nel modo più efficiente. La sua soluzione solo oggi ha trovato una dimostrazione rigorosa. Le applicazioni sono molto attuali nel campo delle telecomunicazioni