La Stampa - Consultazione Archivio

Un cubo per Ferragosto QUANDO IL GIOCO DIVENTA MATEMATICA Un cubo per Ferragosto Platone lo definì «uno dei corpi bellissimi» 11 cubo, sei facce, otto vertici, dodici spigoli, è imo dei cinque solidi regolari, imo dei «corpi bellissimi», dice Platone nel Timeo, presentandolo insieme agli altri solidi platonici come chiave per scoprire i segreti della natura, forma di uno degli elementi fondamentali, la Terra: «7/ triangolo isoscele - afferma Platone generò la natura della quarta specie in modo da formare un tetragono equilatero e la figura del corpo risultante divenne cubica [...] attribuendo questa forma alla Terra)). Per Platone, il cubo nasce duncfue dal triangolo isoscele e precisamente dai ventiquattro triangoli rettangoli isosceli nei quali si scompone ognuna delle sue sei facce, quando viene divisa dalle due diagonali. Duemila anni pili tardi, Keplero, per spiegare matematicamente l'armonia dell'Universo, considerò il cubo e gli altri solidi platonici inscritti e circoscritti ad una successione di sfere che avrebbero dovuto, secondo lui, identificare le orbite dei pianeti. Nei suoi studi sui solidi stellati, Keplero ricavò dal cubo una stella a otto punte che battezzò, con un nome un po' magico e misterioso: «Stella Octangula». Si tratta, in pratica, di un ottaedro con piramidi sulle sue facce ottenuto, come indicato in figura, dall'intersezione dei due tetraedri inscritti nel cubo e costruiti in modo che il primo abbia i vertici coincidenti con quattro degli otto vertici del cubo e il secondo con i vertici coincidenti con gli altri quattro. Dal cubo alla Stella Octangula Vediamo ancora la descrizione del cubo di Edwin A. Abbott, nel suo libro Flatlandia, racconto fantastico a più dimensioni, la più divertente introduzione alla geometria, da raccomandare in particolare a chi non ama molto la matematica: «Eallora [la Sfera] mi presentò al Cubo, e io scoprii che quest'Essere meraviglioso in realtà non era un Piano ma un Solido; e che era dotato di sei facce piane e di otto punti terminali chiamati angoli solidi; e ricordai l'affermazione della Sfera, che proprio una creatura come questa sarebbe stata formata da un Quadrato diesi muovesse, nello Spazio, parallelamente a se stesso; e mi compiacqui al pensiero che una Creatura tanto insignificante qua! ero io lun quadrato] potesse essere considerato in un certo senso la Progenitrice di un così illustre rampollo)). Nella storia della matematica e anche nel campo dei giochi, il cubo occupa un posto importante e il suo fascino discreto ha catturato migliaia di appassionati sostenitori riuniti in vari club. Il più importante è il «Club dei Cubisti)), che ha sede in Olanda e che pubblica anche una rivista con tutte le novità sui giochi e le teorie relative al cubo. Il suo indirizzo in Internet è il seguente: http://www.math.rwth-aachen.de/ —Martii.Schoenert/Cube-Lovers Non sarebbe difficile trovare cento altri riferimenti che dimostrino l'importanza storica e scientifica del cubo, ma il percoi-so più facile per andare alla sua scoperta è quello del gioco. Proponiamo per questo alcune indagini negli spazi in cui il gioco diventa matematica e la matematica si scopre gioco. Prima di proseguire, è però necessario procurarsi una serie di cubetti da colorare o incollare insieme, secondo le indicazioni dei vari giochi. Si possono costruire con dei cartoncini oppure, meglio ancora, in legno, se si ha la fortuna di trovare un falegname compiacente, ma vanno bene anche i blocchetti di plastica o di legno usati per le costruzioni dei bambini. H Ci siamo già divertiti a studiare, nelle due dimensioni, le possibili combinazioni dei quadretti e in particolare i dodici pentamini ottenuti con cinque quadretti, in modo che due quadretti abbiano almeno una faccia in comune (Tuttoscienze, 13 agosto 1997). Come primo gradino, nel passaggio dalle due alle tre dimensioni, aggiungiamo semplicemente la terza dimensione ai dodici pentamini e otteniamo le dodici forme di figura che si chiamano «pentacubi». Con i dodici pentacubi, si possono formare parallelepipedi di dimensioni 3x4x5, 2x5x6 e 2x3x10. Esistono naturalmente più soluzioni che il lettore è invitato a scoprire. Il gioco si complica se si passa alla ricerca di tutti i possibili pentacubi, cioè di tutte le forme che sì possono realizzare con cinque cubetti, uniti fra loro in modo che abbiano almeno una faccia in comune. In tutto sono 29, e il loro numero, essendo un numero primo, ci dice che non è possibile costruire con tutti i pezzi dei parallelepipedi. Se ne possono però utilizzare 27 per costruire un nuovo pezzo avente la forma di uno di quelli di partenza, ma tre volte più alto. Il lettore di buona volontà può proseguire il gioco andando alla ricerca degli esacubi, le forme che si possono realizzare con sei cubetti. In tutto sono 166. H Oliali sono le dimensioni della più piccola scatola rettangolare che si può riempire completamente con U-pentacubi? e quali sono le dimensioni della più piccola scatola cubica? Si cerchino le soluzioni, se esistono, dello stesso problema per ognuno degli altri pentacubi, senza costruire tutti i pezzi necessari, ma tracciandone semplicem'ente gli schemi su un foglio di carta a quadretti. H Sono molti i giochi con cubetti colorati. Il più famoso è sicuramente il Cubo di Rubik che abbiamo già presentato quando, all'ùiizio degli Anni Ottanta, era diventato una vera mania (Tuttoscienze, 28 ottobre e 11 novembre 1981). «Instant Insanity» è un vecchio puzzle che potremmo definire una versione semplificata del cubo di Rubik, riproposto recentemente da Nancy Casey dell'Università dell'Idaho. Casey è la responsabile di un bel progetto di didattica della matematica, il MegaMath che si trova in rete al seguente indirizzo: http://www.cs.uidaho.edu/~casey931 / mega-math/index.html Per il gioco sono necessari quattro cubi le cui facce devono essere colorate secondo gli schemi di figura, dove R, V, B e G corrispondono ai colori rosso, verde, blu e giallo. Il problema consiste nell'allineare i quattro cubi m modo che su ogni faccia del parallelepipedo ottenuto mettendo in fila i cubi, compaiano tutti e quattro i colori. Si tenga presente che non è richiesta una faccia rossa, una verde, una blu e una gialla, ma si richiede invece che su ogni faccia compaiano tutti e quattro i colori: rosso, verde, blu e giallo. I Con 6 colori è possibile colorare le facce di un cubo in 30 modi diversi. Se si sceglie poi imo dei 30 cubi così ottenuti, è possibile costruirne imo due volte più grande, le cui facce hanno ancora gli stessi colori di quello iniziale, scegliendone 8 fra i 29 rimasti. La difficoltà consiste nel riuscire a procurarsi i 30 cubi colorati, poiché nonostante l'interesse suscitato da questo gioco, non ne esiste una versione commerciale. B Tagliare un cubo con un piano, in modo da ottenere come sezione un triangolo equilatero e un esagono regolare. H II Cubo Soma, uno dei più divertenti rompicapi nati dal cubo, è stato inventato da Piet Hein, poeta-matematico danese, con la passione per i giochi matematici. E' suo un altro bel gioco, l'Hex, per la descrizione del quale rimandiamo al primo volume degli Enigmi e Giochi Matematici di Martin Gardner, il più grande esperto in giochi matematici. Piet Hein, morto nel 1996, all'età di novantun anni, è più famoso come scrittore, in particolare per le sue poesie, pubblicate sotto la pseudonimo di Kumbel. Quando Hitler occupò la Danimarca, nel 1940, venne eletto presidente delll'Unione Anti-Nazista e i suoi epigrammi contro il nazismo divennero un bestseller. Il suo più importante contributo alla matematica è stata la scoperta di ima particolare famiglia di curve, le «Superellissi», definite da equazioni simili a quelle delle ellissi, ma con esponenti maggiori di due. Alcune di queste curve sono riportate in figura e un'altra è quella che circonda il volto di Piet Hein nella foto. Sono ciuve, tra l'ellisse e il rettangolo, che hanno un particolare Piet Hein. il poeta matematico padre del Cubo Soma valore estetico e che sono state adottate, anche nelle loro forme tridimensionali, come modelli per oggetti d'arte, lampade, mobili e persino per una grande fontana che si trova al centro di Stoccolma. 71 I 1 A-'- P U-pentacubo B B B Piet Hein. il poeta matematico padre del Cubo Soma Superellissi di Piet Hein Un giorno, nel 1936, Piet Hein stava seguendo una lezione di fisica quantistica di Werner Heisenberg e mentre il grande fisico descriveva mio spazio diviso in celle cubiche, gli venne spontaneo chiedersi quali figure fosse possibile costruire con cubetti tutti uguali, uniti fra loro almeno su una faccia. Dopo aver approfondito il problema, arrivò ad individuare una serie di figure particolarmente interessanti, enunciando anche un suo preciso «teorema»: «Se si considerano tutte le forme non lineari che si possono costruire con meno di quaWo cubetti, tutti delle stesse dimensioni e uniti almeno su una faccia, è possibile riunirle in un cubo 3x3x3». Per forme non lineari si mtendono le forme che hanno almeno una concavità o angolo rientrante e quelle possibili, costruite con 3 o 4 cubetti, sono riportate in figura. Piet Hein battezzò il gioco Cubo Soma, con riferimento alla droga, chiamata Soma, in circolazione nell'ipotetico futuro mondo meccanizzato descritto da Aldous Huxley in Brave New World. Sono in tutto sette pezzi, sei di 4 cubetti e mio di 3 con i quali, come abbiamo detto, si deve comporre il cubo 3x3x3. Oltre al cubo, sono migliaia le forme erniose che si possono costruire con i sette pezzi del Cubo Soma. Il lettore è invitato a tentare di ricomporre quelle riportate in figura e ad inventarne altre nuove, certi che il gioco, all'apparenza così semplice, ma in realtà intrigante e vario, lo catturerà come la droga che aveva catturato gli abitanti del mondo di Huxley, questa almeno è la nostra opinione e quella di Piet Hein. Altre pagine di forme possibili e molte informazioni sul Cubo Soma si trovano all'home page di Jay Jenicek di San Antonio, nel Texas: http://lonestar.texas.ner7 —jenicek/somacube/somacube.html Una versione virtuale del Cubo Soma, con la quale è possibile avviare direttamente il gioco, si trova in Internet al seguente indirizzo: http://users.ids.net/~saiberg/soma/Soma.html Federico Peiretti I sette pezzi del Cubo di Soma LE RISPOSTE H Poiché le dimensioni della più piccola scatola che si può riempire con U-pentacubi, sono 2x3x5, possiamo dedurre che è possibile riempire completamente una scatola cubica 30x30x30 con U-pentacubi. Ma esiste una scatola cubica più piccola che risolve il problema: 10x10x10. H Nel primo caso i lati del triangolo sono le diagonali delle facce del cubo e quindi sono uguali. Nei secondo caso sono le diagonali di quadrati i cui lati sono la metà dei lati del cubo e quindi sono lati di un esagono regolare.