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Maturità scientifica soluzione dei problemi Maturità scientifica soluzione dei problemi Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva: 1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: y=ax^ +.ìx +b, dove a, b sono parametri reali con a *0 a] Determinare i valori di a per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e quelli per i .quali non ammettono tali punti. b] Calcolare i valori di a e b in modo che la curva-y corrispondente abbia un massimo relativo uguale a 0 e sechi l'asse X nel punto di ascissa -2 -\2.. c] Controllato che la curva y si .ottiene per 1 a = - 2 disegnarne l'andamento. d] Calcolare l'area della regione piana delimitata dalla curva y e dall'asse X. 2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva C di equazione: y = .. x2-l 2x a] Studiarla e disegnarne l'andamento, indicando con A e B i punti in cui la curva seca l'asse XA > XB b] Trovare l'equazione della circonferenza C" tangente a C in A passante per B. c] Disegnare C" sullo stesso piano di C dopo aver determinato il raggio e il centro di C" e inoltre le coordinate dell'ulteriore punto in cui C" seca C. d] Determinare l'angolo sotto cui C e C" si secano In B. e) Calcolare le aree delle regioni in cui C divide il cerchio delimitato da C". 3, Un cateto di un triangolo rettangolare è lungo 2a, dove a è una lunghezza nota, e l'angolo acuto adiacente ad esso ha coseno uguale a 4 a] Condotta per il vertice dell'angolo retto una retta t che non attraversa il triangolo e indicata con X la misura dell'angolo che questa retta forma col cateto maggiore, esprimere in funzione di X il volume V(X) del solido generato dal triangolo quando compie una rotazione completa intorno alla retta t. b] Verificato che risulta: V (x) = - ita3 (4 sen x + 3 cos x), 2 co n X appartenente ad un determinato intervallo, studiare la funzione V(X) nell'intervallo stabilito e disegnarne il grafico In un piano cartesiano. c] Utilizzare il grafico disegnato per deteminare X in modo che il volume del solido di rotazione descritto sopra sia Una*, dove k è un parametro reale assegnato. d] Completare la risoluzione dimostrando, col metodo preferito, che il volume V di un tronco di cono di raggi R ed r ed altezza h è espresso dalla seguente formula: V(x) = i nh (R2 + r2 + Rr) 3 Ork-SITO l *> UdcnvUapnouV^ lu> ti ^wlU quando I < Wmni.i, y uonwnc twrcmi ■ staiti ".'« □ \'n 1 - .1. 1 1 .vi': 1 \r:: ;■:[c;:v rr."f P*<^;.0)=» <NBb<( tUtohcato.MttftjMf : t>" ■ (r/ìb1 • <A*'Z ■■ 0. ippliranfe ftuOni 0- • :>'■ l H> *»': !' ■ v U MMIÌm KttMt* « fc = - 2J2, a «-ia c(S;uiod< 1 - - t'n » .1 -l-fi L'uà* fiouxmco««jwtdrfirtU. «wi wrm n ■ ti^-ljì, n/< jrir. Min1';.'.) - little SC(-Vj,-t/l). Bea»»F.puotomdnòiMUhU fao.-lJÌj 4 u « _ : f dJL'irwnorMocf iQUtSITO 2 «itaseli j>0 p«.|<><0 |jm (A»V*rt x«D> lim r-t»(m0m y«n) y.!ll!>o v.«o ' 11" wtnoralupcf k0. ^ VWIOÌII>MMp«X>0. b) - e) D amo C di Ci tutÉimiotK n,Unxm*ViD AiCtriwl All cw,i).,.*;ev5.c'."«y-.>-i-o. niliiiliiM nC9& «MWtOMulewrWawBi-Jlxrtu W-l'I.^'l c) CbiaaMU' I U rauxytf ile Au varxtxM di) p<c*lc-iu. SI mmteMtàvjKtBC£iiwàaanì = Mat^Viì SI n, dd olnjok ndn BEH - j " j «» > - ~ &4 : w traatdo BI1E - 2*W atat.Sl-Sl»«-Sl-j< «<<««(</>)-jtog> OotSiTO AB » Za. AC c ABW= Ì _ j z t Poito X coiv. OS Xi l-.luJ.to. MAC AK' 2o.cosx • KB r 2<* sto _ a ^ ) l Hc= 1 a sin/K -*■) - ìacosx. 2 i / z. j. Ti" Hk ■-) IT traivca A* cono ^encral-e A t o\U. l.<ix.pn:n HK8C ^Coivo cxe<\e<rcJk> d aLUx ^ — 1 — . . vi*»q ^*t°-*]*i *W'ìw**; vft)*Wa? Vi% i 1* ^'(«•)'» °4<tft „ max V," (H.) > -{4 4tA X ♦ T> LOt kt^ v te>^ ><x. , 3'-.S i*W«iVt 3S.»A d) S. pf<-C*43l»rc Con ^ i ., J ) CA. 2.' ocNck| 1. (^«j-V-^ licxn «J^ fjOhofUPivt') o con i\ coAcaI* ifttcarnW : ?T~ ■x./r),cix K— L^CAto-to. Osa