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Geometrie Geometrie I solidi platonici LA geometria si è intromessa nelle arti figurative ogni volta che, da Leonardo ai cubisti, si sono rappresentate figure geometriche, in particolare poligoni (piani) e poliedri (spaziali) di varia forma. Escher è stato particolarmente attratto dai solidi regolari, detti anche solidi platonici, perché, come egli stesso disse, «simboleggiano in maniera impareggiabile l'umana ricerca di armonia e ordine, ma allo stesso tempo la loro perfezione ci incute un senso di impotenza». Parte della magia dei solidi regolari deriva dal loro esiguo numero: come dimostrò Teeteto nel secolo VI a.C, essi sono soltanto cinque (cubo, tetraedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro). Aggiungendo delle piramidi sulle facce dei solidi regolari si ottengono i cosiddetti solidi stellati. In particolare, Escher amò moltissimo il dodecaedro stellato, ritenendolo dotato di «perfettamente ordinata bellezza». Esso si può considerare come l'intersezione di dodici facce a stella regolare: la figura resa tristemente famosa dalle Brigate Rosse, e che è a sua volta un stellazione piana del pentagono regolare. Per sua stessa ammissione, il soggetto che più interessò Escher fu però la divisione regolare del piano: «Non so immaginare che cosa la mia vita sarebbe stata senza questo problema. Mi ci imbattei molto tempo fa, durante le mie peregrinazioni; vidi un alto muro e, come per la premonizione di un'enigma, di qualcosa che esso potesse nascondere, lo scalai con qualche difficoltà. Dall'altro lato, però, mi ritrovai in una giungla; dopo essermi aperta la via con grande sforzo giunsi alla porta aperta della matematica, da cui si dipartivano cammini in ogni direzione. A volte penso di averli percorsi tutti, ammirandone le vedute; e poi improvvisamente scopro un nuovo cammino e sperimento una nuova delizia». Questo problema è chiamato tassellazione del piano, e consiste nel ricoprire l'intero piano mediante tasselli tutti dello stesso tipo, o al massimo di un numero finito di tipi, come in un gigantesco puzzle. Il primo a studiare il problema da un punto di vista matematico fu Keplero nell'Harmonice mundi, del 1619. Escher non è comunque stato il prirnio artista a usare tassellazioni del piano. L'esempio delle decorazioni moresche dell'Alhambra di Granada è ben noto, e fu da lui stesso studiato in maniera approfondita, durante due viaggi nel 1922 e 1936. A causa della proibizione religiosa di rappresentare esseri viventi (stabilita dal seconde comanda- L'arera affadalla didei p tista scinato visione piani mento nella Bibbia, disattesa dai cristiani e ribadita dal Corano), i Mori non poterono però usare altro che motivi geometrici astratti, mentre Escher trovò più attraenti rappresentazioni di figure animate, specialmente pesci e uccelli. Sia i Mori che Escher furono interessati ad una esplorazione sistematica delle tassellazioni regolari, ed usarono quasi tutti i 17 possibili tipi caratterizzati dal cristallografo russo Fedorov nel 1891. Mentre i Mori ci «vertero ovviamente scoprire da soli le varie possibilità, Escher le conosceva grazie al fratello, che era professore di geologia. Ciò che invece Escher riscoprì autonomamente furono le tassellazioni cromatiche, che sono di grande interesse non soltanto per gli artisti, ma anche per i cristallografi. In particolare, egli ritrovò 14 delle 46 possibili tassellazioni del piano a due colori, classificate dal matematico Woods nel 1936. I cristallografi riconobbero l'aspetto pionieristico del lavoro di Escher nel loro campo, tanto che l'Unione Intemazionale di Cristallografia lo invitò a tenere una conferenza al congresso del 1960, e gli commissionò l'illustrazione di un testo con 42 dei suoi disegni, pubblicato nel 1965. Il problema della tassellazione si può estendere dal piano euclideo a superfici più complicate. Gli esempi più semplici di tali superfici sono la sfera e il cilindro. La sfera è interessante perché è limitata nello spazio, e può dunque essere interamente tassellata con un numero finito di tasselli. Questo fatto è, secondo Escher, «un meraviglioso simbolo dell'infinito in forma chiusa», ed egli l'ha illustrato intagliando varie sfere di legno. Quanto al cilindro, Escher ne ha illustrato la tassellazione piastrellando varie colonne. Nel 1958 Escher venne a conoscenza, tramite il matematico Coxeter, di una superficie meno ovvia: il piano iperbolico, la cui proprietà caratteristica è che, data una retta ed un punto fuori di essa, ci sono infinite parallele alla retta data passanti per il punto (nel piano euclideo solito, ce n'è invece soltanto una). Ciò che affascinò Escher fu che il piano iperbolico si può rappresentare mediante una porzione limitata del piano euclideo, ad esempio un cerchio. Mentre le tassellazioni del piano euclideo sono sempre incomplete," quelle del piano iperbolico possono dunque essere complete. Escher produsse così 4 famosi esempi, i Limite del cerchio IIV: forse i capolavori della sua singolare arte di ispirazione matematica, [p. g. od.] L'artista era affascinato dalla divisione dei piani