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E' casuale o probabile? MATEMATICA E' casuale o probabile? Il matematico KLE parole probabilità e caso ricorrono spesso insieme, quasi fossero sinonimi, benché la loro storia sia molto diversa e siano state associate relativamente tardi nello sviluppo del pensiero scientifico. Il vocabolo probabilità compare nel XVI secolo e deriva dal latino próbabilitas, con significato di «qualità, condizione di probabile», e l'aggettivo probabile (del XIII secolo, da probàbilis), significa «che si può approvare, che si suppone o si prevede con qualche fondamento; di fatto che, pur non presentandosi come assolutamente certo, è tuttavia presumibile sia avvenuto o debba avvenire». La teoria della probabilità, detta anche matematica del caso, ha avuto origine dallo studio di problemi relativi ai giochi di azzardo, che forniscono modelli particolarmente semplici e chiari. I fondamenti della teoria risalgono alla metà del XVII secolo, ma ancora oggi gli studiosi hanno punti di vista assai differenti sul concetto di probabilità. Le teorie della probabilità, che si rifanno alle varie concezioni della probabilità, si differenziano fortemente per quel che riguarda il significato dei concetti e delle operazioni fondamentali, ma hanno in comune la struttura formale. Ciò ha consentito di enunciare le teorie astratte (assiomatiche) della probabilità che, prescindendo dai contenuti concettuali di base, si fondano esclusivamente sulle proprietà formali. La formulazione che ha incontrato più favore (dovuta al matematico russo Kolmogorov, 1933) fonda la teoria della probabilità sulla teoria della misura degli insiemi di punti. Dato un qualunque insieme U di elementi, si indica questi ultimi con il nome di punti campione, l'insieme U col nome di spazio campione. Un generico sottoinsieme E dello spazio campione U, è chiamato evento; gli unici eventi che interessano sono quelli a cui si può associare una misura (un numero compreso tra zero e uno), detta probabilità dell'evento. Gli eventi di cui si parla sono in genere accompagnati dall'aggettivo casuale; si parla dunque di eventi casuali, sia per ragioni storiche sia per richiamare la natura particolare dei fenomeni che formano oggetto di studio. L'aggettivo è evidentemente associato al sostantivo caso. L'assiomatizzazione della teoria della probabilità evita accuratamente di affrontare il problema della natura profonda del caso. Ma il caso, cacciato dalla porta, torna a far capolino dalla finestra e si riappropria di tutta la sua im¬ olmogorov portanza non appena si voglia dare applicazione pratica ai risultati teorici. Insomma, non possiamo «non farci caso». Che cos'è dunque il caso? Che cosa si intende esattamente quando si paria di caso in relazione alla probabilità? Vediamo cosa dice in proposito il dizionario. Il vocabolo caso compare nel XIII secolo con derivazione dal latino casus (propriamente caduta, da cadere). Il primo significato che viene proposto è quello di «avvenimento fortuito, combinazione imprevedibile di circostanze, accidente»; seguono alcuni esempi: per caso, in maniera fortuita, per combinazione; a caso, senza scelta deliberata, senza intenzione particolare; darsi il caso, avvenire, per lo più casualmente. Purtroppo, cercando ulteriori chiarimenti circa i termini usati nella definizione di caso e delle sue locuzioni, si trova a «fortuito» la spiegazione «casuale, che si verifica per caso, senza una determinabile ragione, impreveduto», mentre ad «accidente» si legge «evento fortuito, imprevedibile», con l'esempio: per accidente, per caso. Considerando che la definizione è tautologica, circolare, verrebbe voglia di sentenziare che «il caso è chiuso». Un secondo significato è «causa imponderabile a cui si attribuisce la facoltà di determinare eventi indipendenti dalla nostra volontà, identificata di volta in volta nella fortuna, nella sorte, nel destino, e simili», con gli esempi: il caso ha deciso per lui; non conviene mai affidarsi al caso. Ancora, caso può significare «possibilità», come in: i casi sono due; un caso su cento, o «evenienza, ipotesi», come in: in caso di assenza, infortunio, morte; nel caso che. Possiamo trascurare altri significati che non fanno al caso nostro. Come si vede, la parola caso ha varie accezioni e ciascuna con sfumature differenti. Solo un paio di esse sono interessanti in rapporto alla teoria della probabilità, ma purtroppo non sono definibili in maniera assolutamente precisa. Allora, come avviene l'introduzione del caso nella matematica, «la matematizzazione del caso», come si connettono le nozioni di caso e di probabilità? Questo è di fatto possibile in più modi, che differiscono profondamente per il concetto di probabilità adottato, ma per fortuna sfociano nello stesso insieme di regole fondamentali, nella stessa struttura formale. Giampietro Allasia Università di Torino Il matematico Kolmogorov