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La matematica dell'eleganza IL NODO ALLA CRAVATTA La matematica dell'eleganza Curiosa ricerca di due fisici dell'Università di Cambridge LA matematica e la moda, un abbinamento inconsueto, ha portato ad alcuni brillanti risultati che possono modificare le nostre abitudini, i gesti quotidiani che molti di noi eseguono automaticamente ogni mattina: fare il nodo della cravatta o allacciare le scarpe. La ricerca più curiosa è quella di due fisici inglesi dell'Università di Cambridge, Thomas Fink e Yong Mao, i quali sono riusciti a stabilire che i nodi possibili della cravatta sono 85. Quelli generalmente usati, fino ad oggi, erano soltanto quattro. Il nodo più antico, nato in Inghilterra alla fine del secolo scorso, è il 'Four in Hand'i usato dai cocchieri per legare la sciarpa attorno al collo. Altri due, il «Windsor» e l'«Half-Windsor», diventarono popolari negli anni trenta dopo essere stati adottati dal duca di Windsor e l'ultimo, il «nodo Prati», è noto soltanto da una decina d'anni. Fink o Mao, specializzati nello studio delle proteine e dei colloidi, hanno pensato che non era necessario attendere altri cinquant'anni per avere un nuovo nodo, ma che la matematica poteva risolvere in modo definitivo il problema. La loro idea è stata quella di creare un modello matematico collegato ai vari passaggi della costruzione del nodo. «La difficoltà - afferma Fink - è stata quella di convertire criteri estetici in vincoli matematici».! due scienziati hanno presentato il loro lavoro sull'autorevole rivista scientifica Nature (4 marzo 1999). Un nodo inizia sempre con il movimento dell'estremo più largo della cravatta che viene portato sopra o sotto l'estremo più sottile e prosegue con una serie di movimenti, di mezzi giri, che portano l'estremo più largo a sinistra, al centro o a destra, sopra o sotto l'estremo più sottile, verso l'interno, cioè verso la camicia oppure verso l'esterno. La chiave dello studio, il modello matematico adottato, è un reticolo triangolare sul quale viene effettuata una successione di movimenti casuali, quella che tecnicamente si chiama una «passeggiata aleatoria» o «random walk». Stabilendo un massimo di nove possibili movimenti e con l'ulteriore vincolo che non si possano avere due movimenti successivi nella stessa direzione, Fink e Mao sono arrivati a determinare gli 85 nodi possibili, compresi i quattro nodi classici, già noti. I due scienziati hanno poi selezionato sei nuovi nodi, quelli esteticamente più validi, per le loro caratteristiche di simmetria e di equilibrio fra i possibili movimenti. Sono nodi che non hanno ancora un nome, ma vengono identificati semplicemente da una coppia di numeri, com'è riportato nella tabella di figura, il primo per indicare il numero totale dei movimenti, escluso quello finale che chiude il nodo, e il secondo per indicare il numero dei movimenti centrali. Uno dei nodi più belli, il (7,2), ha già avuto l'approvazione della sartoria più prestigiosa di Londra, Gieves and Hawkes (i sarti del Erincipe Carlo), che lo ha adottato, attezzandolo «nodo Fink». Anche i lacci delle scarpe sono stati recentemente oggetto di un'interessante indagine matematica, autore John Halton, informatico della University of North Carolina. Halton ha voluto determinare il modo più conveniente, in pratica quello che richiede la stringa più corta, per allacciare le scarpe, fra i tre più usati: all'europea, all'americana o stile «negozio di scarpe». Anche in questo caso si tratta di analizzare i possibili percorsi dall'occhiello in alto su un lato e all'occhiello in alto sul lato opposto, con una serie di passaggi attraverso un certo numero di occhielli intermedi. Nel modello matematico gli occhielli diventano punti e la stringa una linea. Anche un bravo studente delle medie che conosca il teorema di Pitagora è in grado di risolvere il problema e dimostrare che l'allacciamento all'americana è quello più conveniente. Halton però ha avuto la brillante idea di far corrispondere il percorso dei lacci delle scarpe a quello di un raggio di luce riflesso da una serie di specchi. Il raggio, invece di procedere a zig zag, viene riflesso ad ogni occhiello in modo da conservare un percorso il più possibile rettilineo. In questo modo, riportando i vari percorsi su un reticolo rettangolare, è facile verificare che quello all'americana è più dritto e anche più corto degli altri. Cravatte e stringhe avranno a questo punto un maggior interesse per noi e al mattino, abbandonato il solito nodo, avremo a disposizione un'ampia scelta, per soddisfare, l'umore e gli impegni della giornata. Buon divertimento. Il nodo alla cravatta può essere l'avvio di una ricerca sull'affascinante mondo dei nodi. Il punto di partenza, su Internet, è la pagina di Peter Suber che ha raccolto più di 500 collegamenti ad altre pagine sui nodi: http:/AArvvw.earlham.edu/~peters/ knotlink.htm Alla pagina di Fink si trova il lavoro originale sui nodi della cravatta: http://www.tcm,ohy.cam.ac.uk/ ~tmf20/ Una stupenda 'Esposizione dei nodi' è presentata dalla University of Wales: http://www.bangor.ac.uk/ma/ CPM/exhibit/images/menu.htm Il progetto MegaMath per l'insegnante che vuole introdurre in classe la teoria dei nodi: http://www.c3.lanl. gov/mega-math/workbk/knot/knactiv.html Federico Peiretti Identificati 85 modi possibili, tutti diversi, perl'annodatura Un altro studio analizza le numerose tecniche per allacciare le scarpe NODI ■ 7 7/" b NOMI i MOVIMENTI 1 (3,1) 3 1 0,33 0 S(o) D(i) C(c) N a (4,1) 4 1 0,25 1 Four-in-Hond S(i) D(e) S(i) C(e) N 3(5,2) 5 2 0,40 0 Prati S(e) C(i) D(e) S(i) C(e) N 4(6,2) 6 2 0,33 0 Malf-Windsor S(i) D(e) C(i) S(e) D(i) C(e) N 5(7,2) 7 2 0,29 1 • (7,3) 7 3 0,43 1 7(8,2) 8 2 0,25 2 8(8,3) 8 3 0,38 0 Windsor • (9,3) 9 3 0,33 0 10(9,4) 9 4 0,44 2 S(e)D(i)S(e)C(i) D(e) Sii) C(e) N S(e) C(i) D(e) C(i) S(c) D(i) C(o) N S(i) D(e)S(i) Cjo) D(i) S(o) D(i) C(e) N S(i)C(e)D(i)S(e)C(i)D(e)S(i)C{e)N S(e)D(i) C(e)S|i) D(e) C(i) S(e) D(i) C(e) N S(e)C(i) D(o)C(i) S(e) C(i) D(o) S(i) C(o) N La tabella riporta la successione dei passaggi per la costruzione dei dieci nodi. I movimenti sono: S{iJ, l'estremo più largo della cravatta a sinistra sopra l'estremo più sottile e verso l'interno S(e), l'estremo più largo della cravatta a sinistro sotto l'estremo più sottile e verso l'esterno D(l), l'estremo più largo della cravatta a destra sopra l'estremo più sortile e verso l'interno P(»), l'estremo più largo della cravatta a destra sotto l'estremo più sottile e verso l'esterno C(l), l'estremo più largo della cravatta sul centro, al di sopra del nodo €(•), l'estremo più largo della cravatta sul centro, al di sotto del nodo N ò l'ultimo movimento che chiude il nodo. b indica il numero totale dei movimenti, escluso N, Y il numero dei movimenti al centro, Y/h corrisponde alla forma del nodo, più ò grande, più il nodo è largo e b è collegato alla simmetria del nodo, più ò piccolo, più il nodo è simmetrico. I MOVIMENTI DEL NODO «FOUR-IN-HAND Q o o o o o o O OVSLO O O o o o 0 0000 o o o o l all'cimoricona