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Qui si gioca al ribaltone con la tabellina pitagorica Qui si gioca al ribaltone con la tabellina pitagorica i con due cifre tto a le cifre. vere e ere lo? NELLA puntata del 21 ottobre, avevo proposto di ricercare tutte le coppie di numeri di due cifre, il cui prodotto non cambia, se vengono invertite le loro cifre (ad esempio: 13x62 = 31x26 = 806). Un tale stimolante compito è stato svolto correttamente da un gran numero di lettori. Nessuno di questi, però, ha saputo indicare un espediente pratico, per ridurre in maniera sensibile il numero di operazioni da svolgere. In particolare, Edgardo Archenti (Edgardo-Archenti(?','rita.it), ha scritto: "(...) Chiamando X ed Y rispettivamente, le cifre delle decine e delle unità del primo numero, e Z e T quelle del secondo, perché si verifichi il caso che mi interessa, devo imporre: (lOX+YKlOZ+T) (X+ lOYHZ-iIOTI. Risolvendo e semplificando, si trova: XZ = YT. Cioè, condizione necessaria e sufficiente perché la regola si avveri, è che il prodotto delle cifre delle decine dei due numeri sia uguale al prodotto delle cifre delle unità. Il resto, come avrebbe detto Erdos (hai letto la sua bellissima biografia L'uomo che amava solo i numeri?), è solo forza bruta. Ci sono strade alternative eleganti?". Non so quanto possa essere considerata elegante, ma una maniera piuttosto comoda per risolvere l'equazione XZ = YT, senza svolgere alcun calcolo, consiste nell'individuare su una classica tabellina pitagorica (privata della riga e della colonna del 10) tutte le coppie di valori uguali, che sono disposti in maniera non simmetrica rispetto alla diagonale principale (in modo da scartare le soluzioni banali, del tipo: AxB = BxA). Con tale sistema, si possono trovare tutte le soluzioni possibili, ovvero le seguenti 14: 1x4 = 2x2 = 4; 1x6 = 2x3 = 6; 1x6 = 3x2 ^ 6; 1x8 = 2x4 = 8; 1x8 = 4x2 = 8; 1x9 = 3x3 = 9; 2x6 = 3x4 = 12; 2x6 = 4x3 = 12; 2x8 = 4x4 = 16; 2x9 = 3x6 = 18; 2x9 = 6x3 = 18; 3x8 = 4x6 = 24; 3x8 = 6x4 = 24; 4x9 = 6x6 = 36. Utilizzando opportunamente tali valori, si può ricostrui�re facilmente il seguente prospetto che (a meno di simme�trie) fornisce la soluzione completa del problema proposto: 12x42 = 21x24 = 504; 12x63 = 21x36 = 756; 13x62 = 31x26 = 806; 12x84 = 21x48 = 1008; 14x82 = 41x28 = 1148;13x93 = 31x39 = 1209; 23x64 = 32x46 = 1472;24x63 = 42x36 =1512; 24x84 = 42x48 = 2016; 23x96 = 32x69 = 2208; 26x93 = 62x39 = 2418;34x86 = 43x68 = 2924; 36x84 = 63x48 = 3024; 46x96 = 64x69 = 4416. Si noti come alcune di queste coppie di fattori ribaltabili presentino altre singolari caratteristiche. In particolare, quella che fornisce il prodotto di valore più basso (12x42 = 21x24 = 504) gode di una curiosa proprietà che, invece, tutte le altre non rispettano. Di quale proprietà si tratta? SOLUZIONE •EOijuaA ts uou qp 'atddoo ai-\\v aj aiim jaj ■(6 = ^+0 + 3) owopojd OApB[aj [ap ajjp aipp euiuios bug a[Bn3n a (6 = Z+t+Z+l) ucmBj arip pp ajjp aipp duiuios B'i Scr/Vetea; Ennio Peres-La Stampa ttL. via Marenco32,10126 Torino. E-mail: peresmes@tin.it Altri esercizi con i numeri a due cifre il cui prodotto non cambia invertendo le cifre. Come risolvere 'equazione XZ = YT senza svolgere alcun calcolo?