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L'aritmetica di Alcuino per salvare capra e cavoli | LA LEZIONE | DIDATTICA NEL MEDIOEVO L'aritmetica di Alcuino per salvare capra e cavoli I ROMPICAPO DEI TRAGHETTI DEL MONACO E POETA INGLESE CHE VENNE CHIAMATO DA CARLO MAGNO A RIORGANIZZARE LE SCUOLE DELL'IMPERO Federico Peiretti NEL 781 Alcuino, il monaco e poeta ingle�se che dirigeva la pre�stigiosa scuola catte�drale di York, venne chiamato da Carlo Magno a riorganizzare le scuole dell'Impero e in parti�colare la scuola di Palazzo, la Schola Palatina. La situazione che Alcuino aveva di fronte era disastrosa, con nobili e prelati analfabeti, strutture inefficien�ti e programmi inadeguati. Uno dei momenti più importanti di quella che viene chiamata la rinascita carolingia è l'emana�zione di un decreto, nel 789, suggerito a Carlo Magno da Alcuino stesso, sull'istituzione delle scuole in conventi e catte�drali, per diffondere l'istruzio�ne fra i giovani. Alenino, che aveva anche il compito di educare i due figli dell'Imperatore, scrisse alcuni testi per le nuove scuole. Non sono lavori originali, ma testi scolastici che seguono il percor�so classico delle sette arti libe�rali. Fra questi ci sono testi di aritmetica, geometria, astrono�mia e la prima raccolta in lingua latina di problemi diver�tenti, che oggi Martin Gardner chiamerebbe "giochi matemati�ci", le «Propositiones ad acuendos Juvenes», 53 problemi fra i quah ci sono diversi rompica�po. Un testo, quest'ultimo, che dimostra la preoccupazione dell'autore di trovare il modo meno noioso e meno sgradevo�le per presentare le idee mate�matiche ai suoi studenti, una preoccupazione che dovrebbe avere anche oggi l'insegnante... ad acuendos juvenes, per aguz�zare l'ingegno dei giovani. Le «Propositiones» sono sta�te studiate da Raffaella Franci, storica della matematica e del�la didattica medioevale, che ha presentato i risultati della sua ricerca in una conferenza alla Mathesis torinese. In particola�re la Franci ha approfondito i rompicapo dei "traghetti", se�guendoli nella loro curiosa evo�luzione storica e partendo da quelli più antichi proposti pro�prio da Alcuino. Molti conosco�no quello che segue: è cos�popolare da aver dato origine a un diffuso modo di dire. Salvare capra e cavoli "Un contadino viaggiava con un lupo, una capra e un cesto di cavoli. Arrivato ad un fiume, gh si presentò il problema di portare il suo carico sull'altra sponda avendo a disposizione una barca che ad ogni viaggio poteva trasportare soltanto lui stesso e una delle sue cose. Il contadino non poteva lasciare soli il lupo e la capra, né la capra e i cavoh, per non rischia�re di perdere "capra e cavoh". Come riusc�a trasportare tutto oltre il fiume?" Alenino propone anche un altro problema di traghetti: Salvare la virtù delle fan�ciulle "Tre amici, ognuno dei quah è accompagnato da una sorella, arrivano a un fiume dove trovano unaparva navicula, che può trasportare al massi�mo due persone. I tre fratelli sono gelosissimi delle rispetti�ve sorelle e tutti concupiscono le sorelle degli altri. Si tratta quindi di effettuare il passag�gio all'altra sponda del fiume senza lasciare mai una fanciul�la lontana dal proprio fratello, quando è in presenza di un altro uomo, in modo che non rischi la propria virtù o, come dice Alcuino, che per la sua vita virtuosa venne proclamato bea�to, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit". er non esse�re disonorate Nei secoli che seguirono ritroviamo lo stesso problema in altre versioni (sem�pre palesemente antifemmini�ste), la più nota delle quali è quella con mogli e mariti gelosi al posto di fratelli e sorelle. Si tratta sempre di attraversare il fiume senza che "bevesse a nascere rugine de suspecto scrive Luca Pacioli, il matema�tico amico e maestro di Leonar�do, in un suo manoscritto dell' inizio del Cinquecento de lor donne capitando ale mani de l'uno senza el suo marito, non ci sia commo dici la scriptura vinum et mulieres faciunt ho�minem apostatare". La soluzio�ne è identica naturalmente a quella del problema preceden�te. Quattro coppie sospettose Raffaella Franci ha esteso la sua ricerca a tutte le varianti dei problemi di traghetto, con uno studio della soluzione gene�rale, nel caso di più coppie. Tartaglia, ad esempio, uno dei più celebri matematici del Cin�quecento, nel suo General Trat�tato, proponeva il caso delle quattro coppie che hanno a disposizione la solita barchetta a due posti. E sbaglia clamoro�samente, riportando una solu�zione del problema che in real�tà risulta impossibile. E' infatti necessaria una barca che tra�sporti almeno tre persone e in questo caso il traghetto delle quattro coppie richiede 9 viag�gi. Traghetto per un numero qualsiasi di coppie Sarà Edouard Lucas, il più grande esperto in giochi matematici dell'Ottocento, a dimostrare che con quattro o cinque cop�pie la barca deve trasportare almeno tre persone, e in quest' ultimo caso sono necessari un�dici viaggi, per un numero di coppie superiore a cinque è necessaria una barca che tra�sporti almeno quattro persone, con 2n -1 viaggi per n coppie. L'isola in mezzo al fiume La variante più curiosa preve�de l'introduzione di un'isola in mezzo al fiume, con la possibili�tà di sbarchi intermedi, tra una sponda e l'altra. In questo caso, con quattro coppie e la barchet�ta a due posti, il numero mini�mo di viaggi risulta 28 e in generale con n coppie è stato dimostrato che occorrono 8n 6 viaggi. Cannibali e missionari Un'altra versione dell'Ottocen�to, nella quale il razzismo pre�vale sull'antifemminismo, pro�pone l'attraversamento del fiu�me da parte di tre missionari e tre cannibah, sempre con la barchetta a due posti. Sulle due rive del fiume, i cannibah non devono mai superare in nume�ro i missionari. Altrimenti pre�vale il loro istinto cannibalesco e i missionari fanno una brutta fine. I viaggi necessari sono 11. Soldati e ragazzi in barca Dalla Russia arriva invece una versione militare del proble�ma, con tre soldati che incon�trano sulla riva del fiume due ragazzini con una barca. E questa può trasportare al mas�simo i due ragazzini o un soldato. I viaggi necessari per il traghetto di un soldato sono 4 e in generale per n soldati sono 4n 41, calcolando un viaggio in più perché anche i ragazzini possano attraversare il fiume con la loro barchetta. A questo punto risulta evi�dente come un semplice rompi�capo abbia subito innumerevo�li variazioni nel corso dei secoli o nel passaggio da un paese all'altro (in Africa e in Cina esistono rompicapo simili con tigri, polli, ghepardi, riso o sciacalli per protagonisti), e sia poi arrivato a successive gene�ralizzazioni, partendo dai casi particolari. E' il modo di proce�dere caratteristico del pensiero matematico, anche su proble�mi ben più importanti. Il mate�riale che abbiamo proposto è solto il punto di partenza per un'ampia e divertente indagine sui "traghetti". Noi riportiamo la soluzione dei primi due, lasciando al lettore curioso il piacere della ricerca delle soluzioni per tutti gli altri. Quello che abbiamo proposto è un esempio di un modo non dogmatico e meccani�co di fare matematica, con l'insegnante che promuove esperienze dirette da condurre insieme agh studenti, nella con�vinzione che "non serve tanto il calcolo come dice Raffaella Franci o l'applicazione di formule ripetitive, quanto l'abi�lità nell'affrontare e risolvere problemi in situazioni non stan�dardizzate". LESOLUZIONI a Le soluzioni Salvare capra e cavoli -Il contadino trasporta prima la capra, ritorna indietro e trasporta il lupo, riportando poi indietro la capra. A questo pùnto trasporta i cavoli s infine ritorna a prendere la capra. Salvare la virtù delle fanciulle -Se indichiamo con A, B e C i tre amici, con a, becletre sorelle e separiamo con un trattino le persone che si trovano sulle due sponde del fiume dopò ógni viaggio, la soluzione è la seguente: /«Cabc 0; ABab Ce; ABCab -e; ABG abe; ABCa ^ bc; Aa BCbc; ABab Ce; ab-ABCc; abe * ABC; a ABCbc; AaBCbc;0-ABCabc. Per saperne di più. Raffaella F.ancl, «Il lupo, la capra e il cavolo», "Archimede", 2/2000 Éa versione Ialina on-line del bro di Alcuino; http://home.t-online.de/home/099191080-0002/alcuin. htm Un Interessante articolo di Ivars Petérson sul "crossing rìver", con la soluzione del problema dei missionarie dei cannibali: http^/www.rirtaa.org/mathland-8-ie,htrnf Le soluzioni del problema dei ragazzini e dei soldati: http://westview.tdsb.on.ca/ MathematicsZ5cZcross2.htm�