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Alla maturità: latino e matematica Oli essami scritti volgono al termino Alla maturità: latino e matematica Una prosa ottocentesca per il liceo classico - Arduo il problema dei «quattro coni» per lo scientifico; più semplici (ma non tanto) le «semicirconferenze rotanti» delle magistrali - Per i candidati ragionieri un problema sulla materia dell'ultimo anno Agli esami di maturità si sono svolte ieri le prove di versione dall'italiano per II classico; di matematica per Io scientifico e le magistrali; di computisteria e ragioneria per l'istituto commerciale; di topografia e disegno per i geometri, MATURITÀ- CLASSICA — Brano da tradurre: All'uomo- che non ragiona monca sempre l'attestato della propria coscienza di aver operato bene. Quindi vili rimangono sempre coloro i quali, anche operando bene, ne ignorano la ragione: e noi Italiani ci siamo avviliti dacché abbiam tratte le ragioni delle cose nostre dal detti degli stranieri. Delle cose nostre o non abbiamo parlato, o ne abbiamo parlato con insensato disprezzo, o con più Insensata lode; cose le quali, sebbene opposte, pure, per la natura dello spirito umano, che oscilla sempre tra gli estremi, non sono inconciliabili tra loro. I Greci, per esempio, divennero più vani a misura che divennero più vili, e gli scrittori dell'epoca di Plutarco sono assai più millantatori di quelli coetanei a Platone. Se Incominceremo a riflettere, a parlare della nostra agricoltura, della nostra pastorizia, delle nostre belle arti con ragione e dignità, forse 'troveremo mille volte motivi di renderci migliori. Traduzione: Homini qui ratione non utitur semper deest conscicnliae suae testimonium se bene egisse. Itaque viles semper sunt qui, etiamsi bene agant, huius rei rationem ignorant; nos autem Itali viles facti sumus postquam rerum nostrarum rationes ex alienigenarum dictis hausimus. De rebus nostris aut non disseruimus aut stulta contemptionc disseruimus, aut stultiorn laude; quae res, quamvis oppositae sin. famen prò spiritus humani natura, qui semper intcr extrema fiuctuat, ciusmodì non sunt ut conciliari inter se non possine. Graeci quidem, ut cxemplum afferam, leviorcs exstiterunt prout viliores facti sunt; scriptorcs autem qui Plutarchi temporibus viguerunt multo iactantiores sunt illis qui Plotoni aequales fuerunt. Si vero nos cogitare coeperimus, disserere ratione dignitatequae de nostra agricultura, de nostra re pecuaria. de nostris ingenuis. artibus, fortasse sexcenties invanenti!s causas eur meliores nos reddamus. MATURITÀ' SCIENTIFICA — Problema: Indicato con W un diametro di una sfera di centro O e raggio r, si considerino I seguenti 4 coni : 1) il cono .di. vertice .O... asse. OV e base tangente alla «fera; 2) 11 còno oppòsto-al ^vèrtice del precedente, avente la circonferenza di base sulla superficie sferica; 3) il cono di vertice V, asse W, apertura metà di quelle dei due coni precedenti, ed Inscritto nella sfera; 4) il cono di vertice V, in scritto nella 3fera, ed avente la stessa base.di quella del terzo cono. Dopo di ciò, indicando con v, vt. v3, v, rispettivamente i volumi del quattro coni, si determini l'angolo di apertura del primo cono in guisa che sia soddisfatta la relazione' Ì^L_(k_3)lL±Zi = 2 k. essendo k un numero reale dato. Discussione. Svolgimento: Osserviamo preti minormente che, dovendo avere il terzo cono apertura metà dell'apertura dei due coni precedenti, risulterà avere la stessa base del secondo cono. La sezione della sfera e dei quattro coni con un piano per il centro della sfera si presenterà pertanto come in figura. llllllllllllllIllllllllllMIIIIIIMIIIIIIIIIIIIIilllllllllll Si ha 7C .— v, =-av» vo , t, = —oh''ho, dh» • hv , v. =, — uh' • hv * 3 e, sostituendo nella relazione dell'enunciato, t- XVTjJVv — uiìv ho UÌP • hv' i av'"- ov j- dh' . ho - (k — 31 = 2 k oh» • hv Posto ora voa = > otteniamo A\ = rlK», DH: riga: OH = r co. « , VH = VrH = r — re sostituendo nella Ig' x — «in' M CO» X = r «In x , r -f r coi x , (1), ■ (k —3| •hi»x (1 — eoe xi Ig' * + «in» jr co» * •In' x {1 + co» *) cioè - (k - 3) eoa' « (1 — co» jc) 1 + co»> x CO»» X (l + CO» JfJ = 2 le da cui 1 -f- CO» X -f- co»» •0 — 3) ■ co» x 4- CO»» X - 2k. CO»' X Si perviene cosi all'equazione (4 — s k) co»» x + . + (k — 2) co» x + 4 — k = O, con O < x <TT/2, che, posto co» x = », può scriversi 12] H«) = (4_3k).»-|- + (k-2).-)-4-k = 0, e le radici di questa equazione dovranno soddisfare alla doppia disuguaglianza o <. < 1. eripotio3relnrempp»o—giDsnts■ ■■Il tlllli! ItlIftlMMIIf ■flllllM11llll> Per la realtà di tali radici dovrà risultare A =* (k — 2)' — 4 (4 — k) (4 — 3 k) > O, cioè 11 k' — 6Ók-f6 < O. Ciò si verifica per 30 — 4VÌ5 - > 30+41'13 11 11 Deffo ■ il coefficiente di a' nella (2) abbiamo inoltre «f (O) = (4 — 3 k) (1 — k) > O, per k esterno all'intervallo esterno all'intervallo ■f(l) = (4 — 3k) (6 — 3k| > O, per k 1+t= 2-k 2 = 2 (4 — 3 k) ' ria cui, dopo qualche calcolo che per brevità omettiamo, o < «i +»; < i per k esterno aii'tn- tcrvallo (y, sj. Tenuto conto che è n 30 — 41ÌS i capisaldi della discussione, in ordine crescente, risultano 30 — 11 Per ±. 2, 4, 3 30 — 4VÌS 11 30+ 4VT5 risulla »f (O) > o, .f (1) < O, («, + »,)/2 > 1 ed il problema non ammette soluzioni. Anche per ^ < k < 2 ncn si /tanno soluzioni in quanto risulta ivi mt (O) < O ed mt (1) < O. Per 2 < k < 4 risu((a ■ f (0) < o ed x t (1) > » e quindi il problema ammette una soluzione. Si /tanno invece due soluzioni per 30+ 4| 15 4 <k < II poiché in questo caso risulta »f(0)J>0, .f(l|>0 ed inoltre o <.(«i +«i)/3 < 1. ABILITAZIONE MAGISTRALE — Problema: E' dato un triangolo rettangolo isoscele la cui ipotenusa sia di centimetri 2a. Determinare il raggio delle due semicirconferenze eguali che hanno l centri sull'ipotenusa e sono tangenti tra loro e tangenti ciascuna ad un cateto. Calcolare poi il rapporto delle l>1I4IIIilll*lllI11IIIIMIIIIillllITIIIIItll Tllillllll aree delle superflcl descritte, in una rotazione completa attorno all'ipotenusa, dalle due semicirconferenze e dal triangolo dato. Infine, si determini A, sotto forma decimale, in guisa che la differenza tra l'area del semicerchio circoscritto al triangolo e l'arca dei due semicerchi predetti sia eguale all'arca di un quadrato avente la diagonale di 2 centimetri, assumendo per n il valore approssimato 3,1416. Il giudizio dei professori — Il testo assegnato por la versione in latino al liceo classico, era una prosa ottocentesca: conteneva verso la fine un periodo ipotetico della realtà, ma lineare e semplice. Abbastanza arduo il problema del liceo scientifico (agli studenti di questo corso di studi sono toccate le prove più impegnative fin dall'Inizio). Salvo una difficoltà dell'impostazione era accessibile anche II problema per le magistrali. I ragionieri si sono trovati davanti a un tema che rientrava nel programma dell'ultimo anno, senza operazioni troppo complicate.